時間：2023-02-21 04:09:33
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（一）教學(xué)內(nèi)容分析
近似數(shù)與有效數(shù)字是刻劃現(xiàn)實世界中與某一數(shù)據(jù)相近的數(shù)學(xué)模型。在客觀現(xiàn)實中，有些量無法測得它的準確值或沒有必要測出它的準確值，通常用它的近似數(shù)據(jù)來描述。在日常生活和生活實際以及數(shù)理統(tǒng)計和科學(xué)技術(shù)中具有廣泛的應(yīng)用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和實踐能力的良好素材，教學(xué)中，教師若能把生活中的具體例子讓學(xué)生通過體會實際生活中確實有近似數(shù)的存在，學(xué)生就會覺得教學(xué)不抽象，不空洞，具有現(xiàn)實意義，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力。
（二）數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)
創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境――問題”這一教學(xué)模式的前提，數(shù)學(xué)情境有的來自日常生活，日常生產(chǎn)實際，有的來源于統(tǒng)計和科技，有的來源于客觀的自然環(huán)境……情境創(chuàng)設(shè)的優(yōu)劣直接影響問題的提出問題的質(zhì)量。對于貼近學(xué)生生活的數(shù)學(xué)情境和他們渴求或敏感的數(shù)學(xué)情境就能激發(fā)學(xué)生強烈的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣，促進他們各級思維，從而發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，然后通過探究，分析，尋求解決問題的途徑和措施，在本節(jié)課的準備中，我認為生活中的某些數(shù)據(jù)令人關(guān)注，所以選取與之相關(guān)的背景作為問題情境。
（三） 課堂教學(xué)目標
課程標準要求，了解近似數(shù)和有效數(shù)字的概念，能按要求取近似數(shù)；體會近似數(shù)的意義及在生活中作用，重點是求近似數(shù)和確定有效數(shù)字，難點是求一個絕對值較大的數(shù)的近似數(shù)以及用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的精確度和有效數(shù)字的確定，由于本堂課的內(nèi)容涉及概念、運算，問題轉(zhuǎn)化，邏輯推理等，所以教師在充分利用情境教學(xué)的基礎(chǔ)上，要適當啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，提出問題有針對性，必要時適當講授某些關(guān)鍵問題，本節(jié)課要充分調(diào)動學(xué)生的積極性，鼓勵和激發(fā)學(xué)生積極思考、探究，借助群體力量，認真討論與合作交流，集思廣益，大膽提出問題，使課堂教學(xué)充分體現(xiàn)“設(shè)置情境――提出問題――解決問題――注重應(yīng)用” 教學(xué)模式的思想。
二、 教學(xué)過程
創(chuàng)設(shè)情境一，讓學(xué)生了解近似數(shù)的概念
右圖是2050年世界人口分布預(yù)測圖，你能從圖了解到什么信息嗎？你能得哪些相關(guān)的數(shù)據(jù)？與同伴交流，這些數(shù)據(jù)有什么特點？
學(xué)生通過觀察思考，說自己所獲得的信息，小組綜合組內(nèi)意見進行整理。
教師有針對性地從學(xué)生獲得的信息中選擇一組數(shù)據(jù)：到2050年，歐洲人口為9億，非洲人億19億，北美洲人口5億，拉丁美洲9億，亞州人口52億。
（一） 教師啟發(fā)學(xué)生提出問題
師：根據(jù)這一組數(shù)據(jù)，可合情推理，請你提出一些問題。
學(xué)生自由提問：（問題很多）人口增長類問題；世界人口的消費問題，由人口引起的環(huán)境，資源問題……
教師借助于學(xué)生提出的問題，結(jié)合我國的國情進行國情教育，各國控制人口的必要性， 合理開發(fā)和利用有限的人類資源，同時選取與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的契入點問題“這一組數(shù)據(jù)是準確值嗎？”
先通過小組討論，最后全班統(tǒng)一認識。
討論結(jié)果：這些數(shù)據(jù)是通過推算預(yù)測的，是近似數(shù)。
為了讓學(xué)生更進一步了解近似數(shù)的概念，教師可設(shè)置相關(guān)的實驗內(nèi)容，讓學(xué)生感受和體驗近似數(shù)在現(xiàn)實生活中的存在。
師：請您設(shè)計一種方案，測量我們數(shù)學(xué)課本（教科書）一頁紙的厚度。
學(xué)生先思考測紙方案，提出具體的想法：一張紙的厚度不便于直接測出，我們設(shè)想先測出100頁紙的厚度（或一本書）的厚度，再算出每張紙的厚度。
師：同學(xué)們按照你們的方案進行，試試看。
學(xué)生測試結(jié)果有：0.009 cm0.008 5 cm……
師：你們測算的結(jié)算不全一樣，但都很接近，你們能找出不一樣的原因嗎？
學(xué)生進行討論，討論后學(xué)生們認為：（1） 主要是不同紙張的厚度不同；（2） 測量時存在誤差……
教師對學(xué)生的討論給予肯定和鼓勵，測量的知識將在今后物理學(xué)中繼續(xù)學(xué)習(xí)，你們的意識已經(jīng)超前了，你們的測量結(jié)果都正確，是近似數(shù)。
通過對近似數(shù)的體驗，學(xué)生加深了認識和了解，并能給出近似數(shù)定義。
學(xué)生說定義，教師板演。
練習(xí)1 （體驗生活中的數(shù)據(jù)）下列數(shù)據(jù)，哪些是準確數(shù)，哪些是近似數(shù)。
(1) 王林班上有50人；
（2） 截至6月12日12時，全國共接受國內(nèi)外社會各界捐贈款物總計約448.51億元。
（3） 由于我人口眾多，人均森林面積只有0.128公頃。
（4） 育英小學(xué)在今年植樹節(jié)共植樹對1 200棵。
（二）按要求取近似數(shù)
近似數(shù)通常是用精確度來刻劃的，精確度一般有兩種形式，一是精確到某一數(shù)位，二是保留幾個有效數(shù)字，有效數(shù)字就是指一個近似數(shù)從左邊第一個不是零的數(shù)字起到最后一個數(shù)字上，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字，（教師板演）。
問題在于：小紅量得課桌長為1.027米，請按要求用四舍五入取近似值:(1) 精確到百分位；（2） 保留兩個有效數(shù)字。
問題2 按要求用四舍五入法取1 295 330 000近似值；
（1） 精確到百萬位；（2） 保留有兩個有效數(shù)字；教師引導(dǎo)學(xué)生，對絕對值較大的數(shù)取近似值，通常用科學(xué)記數(shù)法或帶文字單位的形式來表示。
學(xué)生先用自主完成，組內(nèi)合作探討，然后組間進行交流，最后全班統(tǒng)一認識，交流中，學(xué)生質(zhì)疑，提出了兩個問題：（1）1.027≈1.0中1.0中的0能否省略？（2）問題2中第(1)小題能否約等于
1295000000?教師先組織學(xué)生在小組內(nèi)討論，然后釋疑，讓學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，體驗獲得知識和成功帶來的喜悅？
（三） 確定近似數(shù)的精確度
一個近似數(shù)，最后一個有效數(shù)字所在的數(shù)位就是這個數(shù)的精確度（非十進制數(shù)要先還原），如用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)a×10n（1≤a
問題3 指出下列各近似的數(shù)確度和有效數(shù)字
（1） 1.26×105(2) 446.7億
學(xué)生自主探究，然后在組內(nèi)合作探討，班上交流，形成共識，教師針對學(xué)生的質(zhì)疑進行探究，共同解決。
問題4 探討近似數(shù)2.0的準確值a的取值范圍
由于這個問題相對難度較大，教師可啟發(fā)學(xué)生逆向思維，借助取近似值的方法逆推確定a的取值范圍，讓學(xué)生知道推理的過程，根據(jù)四舍五入法分析，當原數(shù)大于2.0時，百分數(shù)可能是小于5的數(shù)，但不可能等于2.05，故a
三、 教學(xué)反思
一、了解近似數(shù)產(chǎn)生的原因及截取方法
近似數(shù)的產(chǎn)生大致有以下原因,一是在計算中常常使用近似數(shù),如在除法運算中常遇到除不盡的情況,通常取近似數(shù);二是在測量物體的長度、重量……時,得到的結(jié)果多是近似數(shù);三是統(tǒng)計大量的數(shù)據(jù)時,一般也取近似數(shù)。
近似數(shù)的截取方法有三種:四舍五入法,進一法和去尾法。常用的是四舍五入法;用進一法截取得近似數(shù)比準確數(shù)大,叫做過剩近似值;用去尾法得到的近似數(shù)比準確數(shù)小,又稱不足近似值,采用什么樣的截取方法,要根據(jù)實際問題的需要而定。
例“每個麻袋可裝糧150千克,有3800千克糧需要裝多少麻袋?”運算結(jié)果就需要采用進一法;而“每套衣服需要用料2.5米,現(xiàn)有62米能做多少套衣服?”運算則需要用去尾法。
二、掌握基本概念,搞清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別
有關(guān)近似數(shù)的概念較多,如誤差、絕對誤差、相對誤差、精確度、有效數(shù)字、可靠數(shù)字等,我們不僅要理解概念本身的含義,而且還要搞清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。
誤差:準確數(shù)與近似數(shù)的差。
絕對誤差:一個量的準確數(shù)與近似數(shù)的差的絕對值(常用絕對誤差界來表示)。
相對誤差:近似數(shù)的絕對誤差除以準確數(shù)(近似數(shù))的絕對值所得的商。
精確度:近似數(shù)接近準確數(shù)的程度。
有效數(shù)字:一個近似數(shù),如果絕對誤差不超過它的最末一位的十個單位,那么從左面第一個非零的數(shù)字起到末位數(shù)止,所有的數(shù)字,都叫做近似數(shù)的有效數(shù)字。
可靠數(shù)字:一個近似數(shù),如果絕對誤差不超過它的最末一位上的一個單位,那么從左面第一個非零的數(shù)字起到末位數(shù)字止所有的數(shù)字。
下面我們對這些概念做一分析、比較。
絕對誤差是誤差的絕對值,它能反映近似數(shù)接近準確數(shù)的程度,但一般絕對誤差不能表明度量工作的好壞,可用測量結(jié)果的絕對誤差來比較測量工具的精確程度,它隨度量單位的改變而改變。相對誤差也是反映近似數(shù)精確程度的,它能反映度量工作的好壞,相對誤差越小,度量工作越準確,它是一個不名數(shù),一般用百分數(shù)來表示。
可靠數(shù)字與有效數(shù)字都是由緣對誤差界來定義的,有效數(shù)字是不超過它最末一位的半個單位,而可靠數(shù)字是最末一的一個單位,可見,有效數(shù)字都是可靠數(shù)字,而可靠數(shù)字卻不一定是有效數(shù)字,它們也都是反映近似數(shù)精確程度的。
對于整十、整百、整千的數(shù),不加說明無法知道它的精確度,通常a×10n”的形式來表示(1《a(10,n是整數(shù)),a由近似數(shù)的有效數(shù)字組成。例如,1500精確到個位為1500≈1.500×103;1503精確到十位為1500≈1.50×103;1490精確到百位為1500≈1.5X103。
三、弄清近似數(shù)的四則計算法則的異同點,并能熟練地運用
近似數(shù)加減法的計算法則是:近似數(shù)相加或相減時,先把小數(shù)位較多的近似數(shù)四舍五入,使比小數(shù)位較少的近似數(shù)多一位小數(shù),然后按通常的加、減法法則進行計算,再把計算結(jié)果中多保留的那一位數(shù)字四舍五入。”而近似數(shù)乘除法的計算法則是:“先把有效數(shù)字較多的近似數(shù)四舍五入,使比有效數(shù)字較少的近似數(shù)多留一個有效數(shù)字,然后按通常的乘除法法則進行計算,再使計算結(jié)果中有效數(shù)字的個數(shù)和原來有效數(shù)字較少的那個近似數(shù)的有效數(shù)字的個數(shù)相同。”比較二法則,它們相同點都是先四舍五入,后計算,再四舍五入至要求,而不同點是:近似數(shù)加減法是看小數(shù)位數(shù),而乘除法看有效數(shù)字。
四、理解并掌握混合運算法則,搞清楚計算中間過程中各數(shù)的精確度如何取
近似數(shù)的四則混合運算要按先乘除后加減的運算順序分步來做,運算的中間結(jié)果,所保留的數(shù)字要比加、減、乘、除計算法則的規(guī)定多取一個。
這條法則的關(guān)鍵是計算中間步驟的結(jié)果所保留的數(shù)字要比加、減、乘、除所規(guī)定的多取一個。由于是混合計算,哪個數(shù)字應(yīng)保留幾位,必須搞清,這也是出錯最多的地方。下面看一例子:
①②③部分按一般乘法法則,它們結(jié)果所保留的數(shù)字應(yīng)分別為3、3、2個有效數(shù)字,但因是混合運算,中間結(jié)果要多保留一位,因而應(yīng)為12.26、2.517、5.97,這三個結(jié)果再相加,12.26+2.517+5.97最少的小數(shù)位是5.97。有效數(shù)字為2個,就是精確到十分位,第一、三數(shù)不變,第二數(shù)四舍五入,計算結(jié)果為8.81,再四舍五入得8.8。計算步驟為:
75.17÷613+2.17×1.16-3.7308×1.6
≈12.26+2.517-3.73×1.6
≈12.26+2.517-597
=8.81
≈8.8
五、搞清預(yù)定結(jié)果精確度的計算在什么情況下需要估算,如何計算
由于近似數(shù)的精確度或由絕對誤差給出(精確到哪一位表示),又可由相對誤差給出(用精確到n個有效數(shù)字表示),所以預(yù)定結(jié)果精度的計算要分兩種情況進行討論。
例:計算++0.07694?搖①使結(jié)果精確到0.001,②使結(jié)果保留3個有效數(shù)字。
①由于加減法法則是看絕對誤差的,所以各數(shù)是要求比預(yù)定結(jié)果的小數(shù)位數(shù)多取一位即可。②結(jié)果要保留3個有效數(shù)字,故需要知道精確到哪一位,所以要估算,
≈0.1,≈0.1、007694≈0.1,0.1+0.1+0.1=0.3,故三數(shù)之和的整數(shù)部分為0,由于要保留三個有數(shù)字,所以從十分位算起應(yīng)精確到0.001,即將要求的有效數(shù)字個數(shù)轉(zhuǎn)化成精確數(shù)位,原始數(shù)據(jù)要保留一位,所以
++0.07694≈0.0909+00833+0.0769=0.2511≈0.251
例:82.4375÷3.147625?搖①使商保留3個有數(shù)字;②使商精確到0.01。
同理可分析:①只要原始數(shù)據(jù)比預(yù)定結(jié)果的有效數(shù)字多取一個即可。②則要估算,即要將商要求的精確數(shù)位換算或有效數(shù)字的個數(shù),再根據(jù)①計算即可。
由以上分析比較知道,若是近似數(shù)的加、減法的預(yù)定結(jié)果是由相對誤差給出的,或近似數(shù)的乘除法的預(yù)定結(jié)果是由絕對誤差給出的則要進行估算,估算后再根據(jù)法則進行計算。
作者單位:
關(guān)鍵詞：數(shù)字地理教室；小班化；分組教學(xué)
從2001年開始，江蘇省南京市啟動了小班化教育試驗。十年來，越來越多的一線教師和教育管理者投入小班化教育教學(xué)的實踐和管理中，也取得了不俗的成績和實效。2009年，筆者所在學(xué)校江蘇省南京市華電中學(xué)（以下簡稱“我校”）建設(shè)了數(shù)字地理教室。數(shù)字地理教室為我們進行小班化教學(xué)和研究提供了廣闊的空間和優(yōu)質(zhì)的平臺。下面，筆者就三年來地理分組教學(xué)的實踐過程，來談幾點不太成熟的看法。
一、數(shù)字地理教室與普通教室基本配置的差異[1]
同普通教室相比，數(shù)字地理教室多了以下基本設(shè)施：①核心設(shè)備：數(shù)字星球教學(xué)系統(tǒng)；②多媒體教學(xué)系統(tǒng)：包括多媒體中控臺、交互式電子白板等設(shè)備；③常規(guī)模型：三球儀、地球儀、地形地貌等；④木器類：可多種組合的學(xué)生特制桌椅、燈箱等。正是數(shù)字地理教室有了以上設(shè)備設(shè)施，分組教學(xué)在我校地理課上才成為常態(tài)。
二、新課程形勢下小班化地理教學(xué)中分組活動的優(yōu)勢
（1）分組活動教學(xué)可以幫助更多的學(xué)生掌握學(xué)科核心知識。地理課上的許多核心知識通過學(xué)生分組進行活動效果更佳。比如，在學(xué)習(xí)“地球傾斜著繞太陽公轉(zhuǎn)”時，教師指導(dǎo)學(xué)生把各組圍成的圈子當成太陽，然后各組派一個學(xué)生代表模擬地球開始繞著自己的小組轉(zhuǎn)圈。因為參與活動的學(xué)生要考慮地球公轉(zhuǎn)時的方向、傾角，所以有一定的難度，不易正確掌握。但6個小組一比賽，肯定就有做得比較好的學(xué)生。然后教師也按標準來模擬一下，既做了示范，也活躍了課堂氣氛。無形之中就把這個難點簡化并加以掌握了。
（2）分組活動可以幫助學(xué)生在單位時間內(nèi)分享更多的信息。新教材正文減幅而閱讀材料及活動明顯增加。正因如此，我們分組活動才能達成目標。如“我國的地勢特點”一課中，教材需要學(xué)生討論“我國地勢特征對自然環(huán)境和經(jīng)濟活動的影響”。這個課題面很廣，也有難度，若以常規(guī)授課，一課不夠。采取分組活動就事半功倍了，實踐證明，分組活動教學(xué)使學(xué)生收集和分享的信息量明顯增加。
（3）分組活動可以培養(yǎng)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)能力。探究式學(xué)習(xí)有助于激發(fā)學(xué)生持久的學(xué)習(xí)興趣，變學(xué)生被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。探究學(xué)習(xí)具有更強的問題性、實踐性、參與性和開放性[2]。要培養(yǎng)學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)習(xí)慣，著眼點就在“過程”上。此時采取合理、科學(xué)、獨到的分組活動進行教學(xué)就顯得極為重要。以“我國的自然資源”為例，我們就可以開展形式多樣的探究學(xué)習(xí)來進行教學(xué)。
（4）分組活動可以幫助學(xué)生養(yǎng)成地理學(xué)科素養(yǎng)，提高社會實踐能力。如2010年春，我校報名參加了金陵晚報組織的“虎鳳蝶――讓我們的紫金山自由呼吸起來”大型環(huán)保活動。學(xué)生們身穿紅馬甲，手提垃圾袋，穿行在樹林和草叢中，給上下山的游客和自己上了一堂非常生動的環(huán)保課。
三、新課程形勢下小班化地理教學(xué)中分組活動的反思
（1）由于生源素質(zhì)不整齊，有時會導(dǎo)致分組活動教學(xué)效果不理想，具體表現(xiàn)為：學(xué)生準備不足、學(xué)生討論不充分、學(xué)生發(fā)言針對性不強，等等，最終無法達到教學(xué)目的。
（2）分組活動教學(xué)需要各活動小組人員比較固定，在數(shù)字地理教室上課時效果不錯。但其他學(xué)科主要在教室按傳統(tǒng)方式上課，這會影響學(xué)生分組活動時一些好習(xí)慣的養(yǎng)成。
（3）分組活動教學(xué)對地理教師要求比較高，因需要精心準備各種素材，會占用教師較多的時間和精力，這樣會影響青年地理教師進行分組活動教學(xué)的工作積極性。
教學(xué)是講規(guī)律的，無論選擇或創(chuàng)新哪種方法進行教學(xué)，只要遵循教育規(guī)律，切合實際，都難能可貴。我們有理由相信，一位樂于學(xué)習(xí)、勇于創(chuàng)新、善于開發(fā)和利用教學(xué)資源的地理教師肯定會學(xué)有所得，教有所成，桃李滿天下。
參考文獻：
[1] 孫宏根.基于數(shù)字星球系統(tǒng)的中學(xué)地理教室建設(shè)實踐[J].中國教育技術(shù)裝備，2009（29）.
關(guān)鍵詞 近似數(shù)；精確度
近似數(shù)是針對準確數(shù)而言的，在我們解決實際問題時，所遇到的數(shù)一般是近似數(shù)。比如我國土地資源部每年都會對我國土地的受災(zāi)情況進行統(tǒng)計，在這里若全部使用精確數(shù)，顯然不現(xiàn)實。再如去商店買1米布料，拉緊一點可能要少一二毫米，拉得松一點可能多一二毫米，這對于做衣是沒有多大妨礙的。要做到完全準確是不易辦到的，要想比較深入地了解近似數(shù)，還必須注意以下兩個問題：
一、精確度與有效數(shù)字
一個近似數(shù)的精確程度就是精確度。一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位；這時從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字，如近似數(shù)0.05067四舍五入到萬分位是0.0507，這時就是精確到萬分位；其左邊第一個不是0的數(shù)是5，從5到0所有的數(shù)是507，5左邊的兩個0不能算，但5與7之間的0要算，所以這個近似數(shù)有3個有效數(shù)字。
精確度對一個近似數(shù)本身而言，精確度越高，其有效數(shù)字也越多，比如，3.14159精確到0.01是3.14，精確到0.001是3.142，前者是3個有效數(shù)字，而后者有四個。
精確度對于兩個或兩個以上的近似數(shù)而言，其精確的程度就要具體分析了。比如用刻度尺量得書本的長度20.3cm（精確到0.1cm），量得桌子的長度是106.5cm（精確到0.1cm），這就是說這兩個近似數(shù)與準確數(shù)的誤差都不超過0.05cm，所以人們常誤以為它們精確程度是一樣的，
事實上，量書本時，平均每厘米產(chǎn)生的誤差最多是■≈0.25%，而量桌子時，平均每厘米產(chǎn)生的誤差最多只有■≈0.05%，這就是說每度量100cm，前者平均最多產(chǎn)生0.25cm的誤差，而后者最多只產(chǎn)生0.05cm的誤差，顯然后者要比前者的精確程度要高。
從另一個角度看，前者是三個有效數(shù)字，而后者是四個有效數(shù)字，一個近似數(shù)的有效數(shù)字越多，其精確程度也越高，這就是有效數(shù)字的真實意義，
二、四舍五入的運用
在運用四舍五入取近似值時，精確到哪一位，只需把后面緊跟的一位數(shù)字四舍五入就行了。如：
（1）求2.85146的近似值（精確到0.001）
正確解答是2.85146≈2.851
錯誤解答是2.85146≈2.8515≈2.852
（2）求2.8961的近似值（精確到0.01）。
正確的解答是2.8961≈2.90
錯誤的解答是2.8961≈2.9
這里的2.90與2.9是不一樣的，區(qū)別就在于兩者的精確度不同。前者精確到0.01，而后者精確到0.1；有數(shù)數(shù)字不同，前者是三個有效數(shù)字，而后者只有兩個有效數(shù)字。
“四舍五入”對于近似數(shù)的處理是一條重要原則，然而針對某些實際問題也不能機械的套用，我們用下面兩個例子來說明這個問題。
例1、小明的奶奶要將3.3千克蜂蜜分裝在一些玻璃瓶里，每個瓶子最多可盛0.4千克，需要準備幾個瓶子？
解答這個問題算式很簡單，即3.3÷0.4=8.25≈8（個），這個算式按四舍五入的原則是無可非議的，然而它與實際又不符，因為8個玻璃瓶只能裝下0.4×8=3.2（千克）蜂蜜，所以正確的解答是：
3.3÷0.4=8.25≈9（個）
故正確答案應(yīng)是9個。
像這種根據(jù)實際情況，4以下采用“只入不舍”的方法，我們把它叫做近似數(shù)的“收尾法”。
例2、某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4小時，飛去的速度為900千米/小時，飛回的速度為850千米/小時，問這架飛機飛出多少千米后就應(yīng)該返回？（精確到千米）
在解答這個問題時，可直接設(shè)未知數(shù)，即設(shè)飛出x千米后就應(yīng)該返回，依據(jù)題意可得方程
■+■=4
x=■
=1748.5……=1749（千米）
近似數(shù)(approximatenumber)是指與準確數(shù)相近的一個數(shù)。如：我國的人口無法計算準確數(shù)目，但是可以說出一個近似數(shù)。比如說我國人口有13億，13億就是一個近似數(shù)。
與實際數(shù)字比較接近，但不完全符合的數(shù)稱之為近似數(shù)。對近似數(shù)，人們常需知道他的精確度，一個近似數(shù)的精確度通常有以下兩種表述方式：
1、用四舍五入法表述，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。
2、用有效數(shù)字的個數(shù)表述，有四舍五入得到的近似數(shù)，從左邊第一個不是零的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止的數(shù)所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
讀數(shù)位數(shù)的確定對學(xué)生來說是一個難點，在中學(xué)物理實驗中，一般要求估讀到測量儀器最小分度的下一位，但這不是絕對的，讀數(shù)位數(shù)的確定實際上是比較復(fù)雜的。在中學(xué)物理實驗教學(xué)中，人們常將“測量中的有效數(shù)字保留至儀器精度的下一位”作為公理來使用．正因為這一點，導(dǎo)致我們在估讀數(shù)時，常感到無所適從，現(xiàn)簡要介紹如下：
一、儀器、儀表的讀數(shù)位數(shù)的原則和方法
1.一切測量結(jié)果都是近似的，近似值應(yīng)當用有效數(shù)字表示：測量中把帶有一位不可靠數(shù)字的近似數(shù)字，叫做有效數(shù)字。按照規(guī)定，有效數(shù)字只保留一位不可靠的數(shù)字，其最后一位可疑數(shù)字是有誤差的。一般誤差只取一位有效數(shù)字，所以測量結(jié)果，其最后一位要與誤差所在的一位對齊。儀器、儀表的讀數(shù)中應(yīng)當只保留一位不可靠數(shù)字即誤差出現(xiàn)的位置。因此，儀器、儀表的讀數(shù)誤差出在那一位，讀數(shù)就讀到那一位為止。
2.儀器(表)測量的準確程度決定了儀器(表)的誤差：誤差的大小決定了他的最小分度，儀器(表)最小分度顯示它每次測量的絕對誤差的大小，可以粗略地認為每次測量的絕對誤差是它最小刻度的一半，哪一位出現(xiàn)誤差，就讀到那一位為止。這種讀法俗稱“半格估讀”。按照這個讀法，中學(xué)階段一般可根據(jù)測量儀器的最小分度來確定讀數(shù)誤差出現(xiàn)的位置。
①最小分度為“1”的儀器，測量誤差出現(xiàn)在下一位，下一位按十分之一估讀。如最小刻度是1mm的刻度尺，按照“半格估讀法”測量誤差出現(xiàn)在毫米的十分位上，估讀為十分之幾毫米。
②最小分度為“2”和“5”的儀器，測量誤差出現(xiàn)在同一位上，同一位分別按二分之一或五分之一估讀。如分組實驗用的電流表的0．6A量程，最小分度為0．02A，每次測量的絕對誤差大約是它最小刻度的一半，即絕對誤差大約為0．01A，其誤差出現(xiàn)在安培的百分位，只讀到安培的百分位，估讀半小格，不足半小格的舍去，超過半小格的按半小格估讀，以安培為單位讀數(shù)時，百分位上的數(shù)字可能為0、1、2、……9；量程為15V的電壓表最小分度為0．5v，每次測量的絕對誤差大約是0．25V(半格估度法)，其測量誤差出現(xiàn)在伏特的十分位上，只讀到伏特十分位，估讀五分之幾小格，以電壓為單位讀數(shù)時，十分位上的數(shù)字可能為0、1、2、……9。
二、下列情況下是不估讀的。
1.秒表：對秒表讀數(shù)時一般不估讀，因為機械表采用的齒輪傳動，每0．1s指針跳躍1次，指針不可能停在兩小格之間，所以不能估度讀出比最小刻度更短的時間。
2、游標卡尺：對游標卡尺的末位數(shù)不要求再做估讀，如遇游標上沒有哪一根刻度線與主尺刻度線對齊的情況，則選擇靠最近的一根線讀數(shù)。有效數(shù)字的末位與游標卡尺的精度對齊，不需要另在有效數(shù)字末位補“0”表示游標最小分度值。
3.當被測量本身的不確定性超過測量儀器的精度時，以被測量的不確定決定讀數(shù)的位數(shù)：
①體溫表。人體各部位的溫度差最大達到l℃以上，在這種情況下把體溫表估讀到攝氏度的百分位就毫無意義了，所以體溫表不估讀，只讀到攝氏溫度的十分位，如36．6℃，39．8℃等等。
一、精心預(yù)設(shè)，基于學(xué)習(xí)起點
學(xué)生學(xué)習(xí)起點是影響學(xué)習(xí)新知識的重要因素，老師在教學(xué)過程中，應(yīng)從學(xué)生實際出發(fā)，充分估計學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)實起點，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，活化思維，培養(yǎng)能力，提高課堂效率。
1.剖析生活經(jīng)驗，把握學(xué)生學(xué)習(xí)起點
《數(shù)學(xué)課標》要求“使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從學(xué)生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)過程”。數(shù)學(xué)中有很多起始內(nèi)容雖沒邏輯起點，但對學(xué)生來說并不意味著一無所有，他們已積累相關(guān)生活經(jīng)驗。為使學(xué)生主動借助生活經(jīng)驗自主獲取新知，教師會創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生架起生活與數(shù)學(xué)的“橋梁”。我在教學(xué)《3.1認識事件的可能性》時有這樣一個片斷：
師：在標準大氣壓下，當溫度到零度以下時，水會結(jié)成冰。這件事情一定會發(fā)生嗎？生：一定會發(fā)生。
師：太陽從西邊升起，這件事情一定會發(fā)生嗎？生：一定不會發(fā)生。
師：今天晚上有月亮。這件事情一定會發(fā)生嗎？生：可能會發(fā)生，也可能不會發(fā)生。
師：世界上很多事情我們還沒有嘗試，但我們能對這些事件發(fā)生的可能性做出判斷。請對下列事件發(fā)生的可能性做出判斷......
這樣教師巧用生活經(jīng)驗，在課堂中再現(xiàn)學(xué)生已有知識、經(jīng)驗，使學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生生活經(jīng)驗的總結(jié)和升華，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高理解能力，在理解和內(nèi)化知識基礎(chǔ)上，促進有效學(xué)習(xí)。
2.挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)積累，把握學(xué)生學(xué)習(xí)起點
有效教學(xué)要把學(xué)生已有知識經(jīng)驗作為新知識生長點，引導(dǎo)學(xué)生“生長”新知識。教學(xué)設(shè)計中能靈活應(yīng)用學(xué)生原有知識起點，對學(xué)生有效學(xué)習(xí)起著事半功倍的效果。我上《1.5有理數(shù)的大小比較》時，根據(jù)學(xué)生認知水平，讓學(xué)生“寫一個你熟悉的有理數(shù)”，再用學(xué)生提供的數(shù)字1，0，-2，-5，3.2，比較兩個數(shù)大小有幾種情況？小學(xué)里學(xué)過兩個數(shù)大小比較，還要研究那些數(shù)的大小比較？能賦予這些數(shù)生活中實際意義？在數(shù)軸上表示這些數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？……在教學(xué)中，老師有意識地創(chuàng)設(shè)情景，溝通不同知識點縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生自主探究，總結(jié)出比較有理數(shù)大小的兩種方法。這種利用新舊知識的聯(lián)系點，有效鞏固了原知識，更有效地掌握新知。
3.基于學(xué)生的情感體驗，把握學(xué)生學(xué)習(xí)起點
心理學(xué)研究表明，一個人只要體驗到一次成功，往往能推動第二次、第三次成功。成功是進步的階梯，每個人都希望自己是一個成功者，只有成功才有自信，有了自信，才會不斷攀登知識的階梯。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)起點設(shè)計些既有一定難度，又能為多數(shù)學(xué)生所接受的開放性問題，問題中既隱含“創(chuàng)新”因素，又留有讓學(xué)生從不同角度與層次施展聰明才智，充分發(fā)掘?qū)W習(xí)潛力。鄭銀鳳老師在上《怎樣解題》時，只畫出等腰三角形，問等腰三角形知道哪些知識？再畫出底邊中點到兩腰的距離，問圖中有哪些特殊三角形？可得哪些結(jié)論？這樣做起點低能照顧全體，又滲透開放，誘導(dǎo)學(xué)生提出問題。實踐中，學(xué)生積極思考主動發(fā)現(xiàn)、探索，體驗成功，在體驗成功中引發(fā)探索欲望，激勵他們?nèi)ァ霸賱?chuàng)造”新的數(shù)學(xué)知識。學(xué)生的思維處于最佳狀態(tài)，自主學(xué)習(xí)需求得到滿足，學(xué)習(xí)能力得到提升。
二、重視生成，順應(yīng)學(xué)習(xí)起點
教學(xué)是師生、生生相互學(xué)習(xí)，共同成長過程。教學(xué)設(shè)計與實施，應(yīng)從實際出發(fā)，做到“以學(xué)定教”。
1.根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，調(diào)整教材呈現(xiàn)次序
教材內(nèi)容呈現(xiàn)更多是關(guān)注知識邏輯起點，涉及到教材本身知識體系完整性，也是教材編寫局限性。要根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)起點，對教材教學(xué)順序適當調(diào)整。如八上2.6探索勾股定理，常會遇到如下情況：在等腰RtABC中，∠C=90°AC=BC=2，求AB長.由勾股定理得AB= . 不是最簡結(jié)果，而二次根式化簡八年級下冊才學(xué)。此時感到：如 不化簡， 不是準確答案，會給學(xué)生帶來負面影響，若要化簡，二次根式?jīng)]有學(xué)。如把二次根式放到特殊三角形前面，上述問題迎刃而解。這種教學(xué)策略真正體現(xiàn)“教師的教”為“學(xué)生的學(xué)”服務(wù)，構(gòu)建有效課堂，促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)。
2.根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，調(diào)整課堂教學(xué)進程
在課前把握學(xué)習(xí)起點只能算可能性起點。隨課堂教學(xué)不斷深入，會形成多個新起點，這些新起點往往在意料之外。課堂教學(xué)要重視課堂生成，善于把握學(xué)生暴露的現(xiàn)實起點，順應(yīng)現(xiàn)實起點及時調(diào)整教學(xué)預(yù)案，在起點推進動態(tài)中找到切入點，把學(xué)的思維從現(xiàn)在發(fā)展區(qū)引領(lǐng)到最近發(fā)展區(qū)，將原有認知與經(jīng)驗加以提煉與升華，進行拓展和延伸，得以鞏固和建構(gòu)。在教《2.7準確數(shù)和近似數(shù)》有這樣一段經(jīng)歷：在教了近似數(shù)和有效數(shù)字的概念后，學(xué)生歸納出有效數(shù)字條件：一是從左邊第一個不是零的數(shù)字起，二是到末位數(shù)字為止所有數(shù)字。在練習(xí)過程中，有學(xué)生問：老師，“0”是有效數(shù)字？大多學(xué)生用期待的眼光看著我，我一看都有疑問，調(diào)整預(yù)設(shè)方案，讓學(xué)生分小組討論，“0”是有效數(shù)字？為什么？
各小組進行激烈討論后，我說：認為“0”是有效數(shù)字的請舉手，沒有一位同學(xué)舉手；我說：認為“0”不是有效數(shù)字的請舉手，也沒有一位同學(xué)舉手；“0”到底是不是有效數(shù)字？一小組的代表起來回答：我們組認為，“0”是不是有效數(shù)字跟位置有關(guān)系，左邊開頭的“0”不是有效數(shù)字，位于非“0”數(shù)后面的“0”是有效數(shù)字。如0.01030，前面的兩個“0”不是有效數(shù)字，中間的“0”和后面的一個“0”是有效數(shù)字。其他小組觀點一致。“是的，“0”究竟是不是有效數(shù)字，要看它的兩個條件是否同時具備.....
關(guān)鍵詞：末 有效數(shù)字 數(shù)值修約 全數(shù)值比較法 修約值比較法
0、前言：
測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理和最終表達是測量過程的最后環(huán)節(jié)，而有效數(shù)字的確定，數(shù)據(jù)的正確修約與表達對測量數(shù)據(jù)的正確處理和結(jié)果的準確表達有著重要的意義。本文詳細闡述了對數(shù)值進行修約的簡要、直觀的規(guī)則的方法。
1、術(shù)語：
1.1 （末）[1]的概念：
（末）指的是任何一個數(shù)最末一位數(shù)字所對應(yīng)的單位量值。
如：某長度測量值20.1mm，該測量值的（末）為0.1mm。
1.2 有效數(shù)字[1]：
某個數(shù)測量結(jié)果的計量數(shù)字的有效數(shù)字是指從該數(shù)左邊的第一個非零數(shù)字算起直到最末一位數(shù)字為止的所有數(shù)字。測量結(jié)果的計量數(shù)字，其有效位數(shù)代表結(jié)果的準確程度。有效位數(shù)不同，它們的準確度也不同。同時，計量數(shù)字右邊的“0”不能隨意取舍，因為這些“0”都是有效數(shù)字，它決定著測量結(jié)果的準確度。
例1：二氧化硫殘留量測試結(jié)果為0.0010g/kg，有效位數(shù)為2位。
例2：某長度測量值20.1mm，有效位數(shù)為3位；若是20.10mm，則有效位數(shù)為4位。測量結(jié)果為20.10mm比20.1mm的準確度高。
1.3 數(shù)值修約[1]：
對擬修約數(shù)根據(jù)保留數(shù)位的要求，將其多余位數(shù)的數(shù)字進行取舍，按照一定的規(guī)則選取一個其值為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)（稱為修約數(shù)）代替擬修約數(shù)，這一過程稱為數(shù)值修約。
1.4 修約間隔[1]
修約間隔又稱修約區(qū)間，即修約值的最小數(shù)值單位⑴，它是確定修約保留位數(shù)的一種方式。
修約間隔一般以K×10n（K=1，2，5；n為零或正、負整數(shù)）的形式表示。修約間隔一經(jīng)確定，修約數(shù)只能是修約間隔的整數(shù)倍。
例如：若指定修約間隔為0.1，則修約數(shù)應(yīng)在0.1的整數(shù)倍的數(shù)中選取；若修約間隔為2×10n，則修約數(shù)的末位只能是0，2，4，6，8等數(shù)字；若修約間隔為5×10n，則修約數(shù)的末位只能是0或5。
1.5 極限數(shù)值（指標數(shù)值）
標準（或技術(shù)規(guī)范）中規(guī)定考核的以數(shù)量形式給出且符合該標準（或技術(shù)規(guī)范）要求的指標數(shù)值范圍的界限值⑴。
2、近似數(shù)的運算及其計量數(shù)字位數(shù)的確定
2.1 加、減運算
如果參加運算的數(shù)不超過10個，運算時以各數(shù)中（末）最大的數(shù)為準，其他的數(shù)字比其多保留一位，多余位數(shù)應(yīng)舍去。計算結(jié)果的（末）應(yīng)與參與運算的數(shù)中（末）最大的那個數(shù)相同。若計算結(jié)果尚需參與下一步運算，可多保留一位。
例如：18.3Ω+1.4546Ω+0.876Ω
18.3Ω+1.45Ω+0.88Ω=20.63Ω≈20.6Ω
計算結(jié)果為20.6Ω。若尚需參與下一步運算，則取20.63Ω
2.2 乘、除（或乘方、開方）運算
在進行數(shù)的乘除運算時，以有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)為準，其余的數(shù)的有效數(shù)字均比其多保留一位。運算結(jié)果（積或商）的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)與參與運算的數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)相同。若尚需參與下一步運算，有效數(shù)字可多取一位。
例如：1.1m×0.3268m×0.10300m
1.1m×0.327m×0.103m=0.0370m3≈0.037m3。
計算結(jié)果為0.037m3。若需參與下一步運算，則取0.0370m3。
乘方、開方運算類同。
3、數(shù)值修約規(guī)則：
3.1 當要求對某擬修約數(shù)進行修約時，需確定修約數(shù)位， 其表達形式有以下幾種：
（1）指明具體的修約間隔
（2）將擬修約數(shù)修約至某數(shù)位的0.1或0.2或0.5個單位。
（3）指明按“K”間隔將擬修約數(shù)修約為幾位有效數(shù)字，或者修約至某數(shù)位（注意：有時“1”間隔可不必指明，但“2”間隔或“5”間隔必須指明）。
3.2 國家標準GB/T8170《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定》對“1” “2” “5” 間隔的修約方法均分別作了規(guī)定，但使用時較為繁瑣。下面介紹一種適用于所有修約間隔的修約方法，該方法只需直觀判斷，簡便易行。現(xiàn)將該修約規(guī)則描述如下：
1）最接近原則。即：如果為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，只有一個數(shù)最接近擬修約數(shù)，則該數(shù)就是修約數(shù)。
例1：將下列數(shù)值按0.1修約間隔進行修約
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
1.150001 1.1
1.2 √（最接近擬修約數(shù)） 1.2
0.351 0.3
0.4 √（最接近擬修約數(shù)） 0.4
例2：將下列數(shù)值修約至十分位的0.2各單位（即修約間隔為0.02）
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
1.015 1.00
1.02 √（雖然該數(shù)為修約間隔 1.02
0.02的51倍，但由于
1.02最接近擬修約數(shù)，
因此1.02就是修約數(shù)）
2）偶數(shù)倍原則。即：如果為修約間隔整數(shù)倍的一系列數(shù)中，有連續(xù)的兩個數(shù)同等地接近擬修約數(shù)，則這兩個數(shù)中，只有為修約間隔偶數(shù)倍的那個數(shù)才是修約數(shù)。
例1：將下列數(shù)值修約至十分位的0.2個單位（即修約間隔為0.02）
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
8.87000 8.86
8.88 √（該數(shù)為修約間隔 8.88
0.02的偶數(shù)倍）
例2：將8150按100間隔修約
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
8150 8.1×103
8.2×103√（該數(shù)為修約間隔 8.2×103
100的偶數(shù)倍）
例3：將8.77700按2間隔修約至千分位
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
8.77700 8.776 √（該數(shù)為修約間隔 8.776
2的偶數(shù)倍）
8.778
例4：將7.07500按“5”間隔修約成3位有效數(shù)字
擬修約數(shù)值 與擬修約數(shù)鄰近的修約值 修約值
7.75007.05
7.10 √（該數(shù)為修約間隔 7.10
5的偶數(shù)倍）
3）不允許連續(xù)修約⑴。即：擬修約數(shù)字應(yīng)在確定修約間隔或指定修約數(shù)位后，一次修約獲得結(jié)果，不得多次連續(xù)修約⑴。
例1：將97.46按“1”修約間隔修約為2位有效數(shù)字
正確的做法：97.46 97
不正確的做法：97.46 97.5 98
例2：將15.4546按1修約間隔修約為2位有效數(shù)字
正確做法：15.4546 15
不正確的做法：15.4546 15.455 15.46 15.5 16
4、結(jié)束語：
本文對數(shù)值修約介紹了一個簡要、直觀的規(guī)則方法，該方法直觀、好用，避免了標準GB/T8170-2008中繁瑣的過程。
參考文獻：
[1]GB/T8170-2008《數(shù)值修約規(guī)則與極限數(shù)值的表示和判定》
作者信息：
姓名：尤榮瑞；男
學(xué)歷：大學(xué)本科
職稱：高級工程師，
職務(wù)：質(zhì)量負責人、技術(shù)負責人
1. 下列各組量中，互為相反意義的量是( )
A、收入200元與贏利200元 B、上升10米與下降7米
C、“黑色”與“白色” D、“你比我高3cm”與“我比你重3kg”
2.為迎接即將開幕的廣州亞運會，亞組委共投入了2 198 000 000元人民幣建造各項體育設(shè)施，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)據(jù)是( )
A 元 B 元 C 元 D 元
3. 下列計算中，錯誤的是( )。
A、 B、 C、 D、
4. 對于近似數(shù)0.1830，下列說法正確的是( )
A、有兩個有效數(shù)字，精確到千位 B、有三個有效數(shù)字，精確到千分位
C、有四個有效數(shù)字，精確到萬分位 D、有五個有效數(shù)字，精確到萬分
5.下列說法中正確的是 ( )
A. 一定是負數(shù) B 一定是負數(shù) C 一定不是負數(shù) D 一定是負數(shù)
二、填空題：(每題5分，共25分)
6. 若0
7.若 那么2a
8. 如圖，點 在數(shù)軸上對應(yīng)的實數(shù)分別為 ，
則 間的距離是 .(用含 的式子表示)
9. 如果 且x2=4，y2 =9，那么x+y=
10、正整數(shù)按下圖的規(guī)律排列.請寫出第6行，第5列的數(shù)字 .
三、解答題：每題6分，共24分
11.① (-5)×6+(-125) ÷(-5) ② 312 +(-12 )-(-13 )+223
③(23 -14 -38 +524 )×48 ④-18÷ (-3)2+5×(-12 )3-(-15) ÷5
四、解答題：
12. (本小題6分) 把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里.
(1)正數(shù)集合：{ …｝;
(2)負數(shù)集合：{ …｝;
(3)整數(shù)集合：{ …｝;
(4)分數(shù)集合：{ …｝
13. (本小題6分)某地探空氣球的氣象觀測資料表明，高度每增加1千米，氣溫大約降低6℃.若該地地面溫度為21℃，高空某處溫度為-39℃，求此處的高度是多少千米?
14. (本小題6分) 已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖)，折疊紙面.
(1)若1表示的點與-1表示的點重合，則- 2表示的點與數(shù) 表示的點重合;
(2)若-1表示的點與3表示的點重合，則
5表示的點與數(shù) 表示的點重合;
15.(本小題8分) 某班抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準，超出的記為正數(shù)，不足的記為負數(shù)，記錄的結(jié)果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10.
(1)這10名同學(xué)中分是多少?最低分是多少?
(2)10名同學(xué)中，低于80分的所占的百分比是多少?
(3)10名同學(xué)的平均成績是多少?
七年級數(shù)學(xué)第一單元測試卷
參考答案
1.B 2.C 3.D 4.C 5.C
6. 7.≤ 8.n-m 9.±1 10.32
11①-5 ②6 ③12 ④
12① ②
③ ④
13.10千米
14. ①2 ②-3
15.①分：92分;最低分70分.
