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關(guān)鍵詞：框剪結(jié)構(gòu)；抗震鑒定；加固
中圖分類號： TU398文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A
框架剪力墻結(jié)構(gòu)的概述
所謂的框架剪力墻結(jié)構(gòu)也稱框剪結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是在框架結(jié)構(gòu)中布置一定數(shù)量的剪力墻，構(gòu)成靈活自由的使用空間，滿足不同建筑功能的要求，同樣又有足夠的剪力墻，有相當(dāng)大的側(cè)向剛度。對于框剪結(jié)構(gòu)的受力特點，是由框架和剪力墻結(jié)構(gòu)兩種不同的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)組成的新的受力形式，所以它的框架不同于純框架結(jié)構(gòu)中的框架，剪力墻在框剪結(jié)構(gòu)中也不同于剪力墻結(jié)構(gòu)中的剪力墻。而剪力墻結(jié)構(gòu)是用鋼筋混凝土墻板來代替框架結(jié)構(gòu)中的梁柱，能承擔(dān)各類荷載引起的內(nèi)力，并能有效控制結(jié)構(gòu)的水平力。鋼筋混凝土墻板能承受豎向和水平力，它的剛度很大，空間整體性好，房間內(nèi)不外露梁、柱棱角，便于室內(nèi)布置，方便使用。剪力墻結(jié)構(gòu)形式是高層住宅采用最為廣泛的一種結(jié)構(gòu)形式。
某工程概況
某辦公樓建筑面積為2800m2，地下一層，地上二十七層，裙房2層，屋面標(biāo)高87.900m各層樓板均采用鋼筋混凝土現(xiàn)澆板，抗震設(shè)防烈度為7度，剪力墻抗震等級二級，框架抗震等級二級，場地類別Ⅱ類。底層為框架結(jié)構(gòu)，柱截面尺寸為800mm ×800mm，框架梁截面為350mm x1000mm，地下一層抗震墻厚320mm，一~二層抗震墻厚300mm，三~四層抗震墻厚度為250mm,五層以上抗震墻厚度為200mm.屋面為上人屋面，柔性防水做法，有組織排水。基礎(chǔ)形式為平板式筏形基礎(chǔ)。因種種原因，現(xiàn)需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震鑒定與加固設(shè)計。
結(jié)構(gòu)抗震鑒定
3.1、抗震鑒定主要流程，見圖1：
3.2、抗震鑒定方法。根據(jù)框架剪力墻結(jié)構(gòu)的特點、結(jié)構(gòu)布置、構(gòu)造和抗震承載能力等因素，采用相應(yīng)的逐級鑒定方法。抗震鑒定的方法分為兩級，是篩選法的具體應(yīng)用。第一是以宏觀控制和構(gòu)造鑒定為主進(jìn)行綜合評價。第一級鑒定的內(nèi)容較少，容易掌握又確保安全；第二是在第一級鑒定的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，以抗震驗算為主，結(jié)合構(gòu)造影響進(jìn)行綜合評價。當(dāng)結(jié)構(gòu)的承載力較高時，可適當(dāng)放寬某些構(gòu)造要求;或者，當(dāng)抗震構(gòu)造良好時，承載力的要求可酌情降低。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)未給出具體鑒定標(biāo)準(zhǔn)時，可采用抗震設(shè)計規(guī)范規(guī)定的方法，按下式進(jìn)行結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震驗算:
≦（式 1）
式1中，S—結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)力組合的設(shè)計值；R—結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力設(shè)計值；—抗震鑒定的承載力調(diào)整系數(shù)。這種鑒定方法，將抗震構(gòu)造要求和抗震承載力驗算要求更緊密得聯(lián)合在一起，具體體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)抗震能力是承載能力和變形能力兩個因素的有機結(jié)合。
3.3、抗震鑒定在本工程中的應(yīng)用
首先對砌筑用磚和混凝土強度采用回彈法、對砂漿采用回彈法和貫人法進(jìn)行檢測。檢測結(jié)果表明:結(jié)構(gòu) 1~3 層混凝土強度為 47MPa，結(jié)構(gòu)四層至頂層混凝土強度實測為 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，綜合評定其抗壓強度符合規(guī)范要求；其次采用采用經(jīng)緯儀棱線投射法對房屋外墻棱線傾斜進(jìn)行測量，測定建筑物外墻頂點相對底部的偏移值，結(jié)果顯示，該房屋最大傾斜率為 1.1‰，在規(guī)范限值范圍內(nèi)；第三是抗震承載力分析。第四是抗震驗算。在鑒定驗算的過程中，結(jié)構(gòu)按丙類建筑考慮，屬于A 級高度的框架剪力墻結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)防列度為七度，Ⅱ類場地，設(shè)計地震分組為第一組，多遇地震時場地設(shè)計特征周期取為 0.35s，設(shè)計基本加速度取為 0.10g。該房屋的框架抗震等級為二級，剪力墻抗震等級為二級。對該結(jié)構(gòu)按現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行抗震驗算，計算軟件采用 10 版 SATWE 軟件和 ETABS，將兩款計算軟件的計算結(jié)果進(jìn)行相互校核，以保證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，建立結(jié)構(gòu)的整體模型。結(jié)構(gòu)整體計算采用振型分解反應(yīng)譜分析法，計算振型個數(shù)取 21，考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)，振型組合采用 CQC 振型組合方法。如果按7度抗震設(shè)防進(jìn)行了多遇地震作用下的彈性分析。結(jié)構(gòu)的動力特性見表1：
通過計算，SATWE 與 ETABS 計算得到的結(jié)構(gòu)位移信息相差較小，說明計算結(jié)果比較可信。SATWE 的計算結(jié)果如下：結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.22 和 1.27，滿足規(guī)范相關(guān)限值的要求。
4、抗震加固方案
4.1、房屋的抗震承載力加固措施。為增強房屋底層的抗震承載力，提高房屋的整體剛度，采用鋼筋網(wǎng)水泥砂漿對底層磚墻雙面加固。材料選用水泥砂漿，砂漿強度等級為M10，厚度為40mm。
4.2、局部構(gòu)件承載力加固措施。首先采用單榀框架計算，縱向連接依據(jù)構(gòu)造措施設(shè)計。計算發(fā)現(xiàn)，底層軸、橫向連系梁截面、配筋均不足，采用擴大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的問題，可采用碳纖維加固法，有效提高框架梁強度且不影響使用空間；第三是針對2,3層部分墻體被拆除，可采用雙拼槽鋼加固，為防止局部墻肢破壞、使結(jié)構(gòu)受力傳播合理，對剩余磚墻及槽鋼梁進(jìn)行擴大截面加固，磚墻采用截面擴大加固，應(yīng)延伸至1層。
4.3、構(gòu)造柱設(shè)計加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整體性不足，可以采用增加構(gòu)造柱的加固方法。構(gòu)造柱按照規(guī)范要求整體布置，根據(jù)布置位置的不同，采用不同的做法。同時，新增構(gòu)造柱應(yīng)同原有墻體及圈梁可靠連接。
4.4、新增隔墻的加固措施。新增隔墻有利于結(jié)構(gòu)傳力，采用承重墻的做法。在一般情況下，可以采用兩根8沿墻體全長拉通，間隔500mm設(shè)置，與框架柱可靠連接。
4.5、抗震加固在本工程中的方案應(yīng)用
由上文的抗震鑒定驗算可知，對于計算結(jié)果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘貼碳纖維的方案對本工程進(jìn)行加固。對于七層的超筋柱采用增大截面法進(jìn)行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考慮到施工的可行性，將原截面直徑為 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用細(xì)石混凝土，強度不低于 C40，新老混凝土交界面需鑿毛處理，并在增大的混凝土中配一定量的受力鋼筋與箍筋，并與原結(jié)構(gòu)構(gòu)件間用植筋的方法增加拉結(jié)筋進(jìn)行連接。該房屋三層高為 6.4m，在三層 3.2m 高度處增設(shè)隔墻。隔墻采用鋼梁，帶肋花紋鋼板作樓面。夾層樓面梁布置與原結(jié)構(gòu)三層樓面梁布置類似。鋼梁為焊接工字形截面梁，鋼梁通過焊接型環(huán)形箍板固定于原混凝土柱。環(huán)形箍板由化學(xué)錨栓固定于原混凝土柱。花紋鋼板及加勁肋厚度均取為 8mm。采用以上措施加固后，按砌體結(jié)構(gòu)再次進(jìn)行抗震驗算。
本次采用 SATWE 軟件對增加隔墻后的整體結(jié)構(gòu)重新分析，其中隔墻部分主梁與柱之間連接為剛接，主梁與剪力墻之間連接為鉸接，次梁與主梁之間連接為鉸接；由于花紋鋼板樓面的剛度較弱，分析時將此層樓板設(shè)為彈性膜；結(jié)構(gòu)七層計算超筋柱按增大截面后的截面輸入。計算結(jié)果見表 2 所示：
結(jié)構(gòu) X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.24 和 1.30，滿足規(guī)范要求；原七層超筋柱經(jīng)加固后的計算配筋率為 3.6%，能滿足抗震規(guī)范中規(guī)定的柱縱筋配筋率的要求，證明采用增大截面法對于加固結(jié)構(gòu)超筋構(gòu)件的有效性。
結(jié)束語
總之，加固設(shè)計應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)的布置情況，合理的布置剪力墻、鋼支撐的位置、數(shù)量，保證加固后結(jié)構(gòu)體形、平、立面剛度的均勻性，避免出現(xiàn)加固后出現(xiàn)新的薄弱環(huán)節(jié)，同時在進(jìn)行加固設(shè)施工時，應(yīng)采用有效的施工措施，保證新增構(gòu)件與原構(gòu)件應(yīng)有可靠錨固與連接，同時避免對原結(jié)構(gòu)構(gòu)件造成損傷。使新舊構(gòu)件協(xié)同工作，達(dá)到預(yù)期的加固效果。并且由于地震作用的復(fù)雜性，如何選用更加合理的方法對鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析，以達(dá)到較為精確的計算結(jié)構(gòu)彈塑性變形，依然需要做進(jìn)一步研究。
參考文獻(xiàn)：
[1]任鳳鳴.鋼管混凝土框架—核心筒減震結(jié)構(gòu)的抗震性能研究[D].廣州大學(xué),2012.
勾股定理在幾何學(xué)中有著重要的地位，因此證明勾股定理在我們學(xué)習(xí)幾何數(shù)學(xué)中非常重要。千百年來有許多數(shù)學(xué)家對勾股定理進(jìn)行證明，證明方法多種多樣。對勾股定理的證明在1940年出版的《畢達(dá)哥拉斯命題》中就收集到了367種之多，但是這還不是全部的證明方法，根據(jù)不完全統(tǒng)計到目前為止證明勾股定理的方法已經(jīng)達(dá)到了500多種。當(dāng)然各種證明方法都有自己獨特的優(yōu)點，有的豐富有的簡潔。在西方國家勾股定理還被人們稱為畢達(dá)哥拉斯定理，這是因為畢達(dá)哥拉斯是最先發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理并且給出了嚴(yán)格的證明。
關(guān)鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發(fā)現(xiàn)和利用勾股定理的人，商高曾經(jīng)說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應(yīng)用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現(xiàn)了數(shù)型結(jié)合得思想，這體現(xiàn)了在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得過程中我們必須要重視思維方式的培養(yǎng)，以及對各種思維方式的應(yīng)用，達(dá)到舉一反三的效果。在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中我們要領(lǐng)會數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關(guān)的已知量和未知量通過圖形結(jié)合起來解決問題，也就是說我們必須要數(shù)型結(jié)合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數(shù)和形結(jié)合起來考慮，并且把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使得復(fù)雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數(shù)型結(jié)合是一個重要的數(shù)學(xué)思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認(rèn)識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數(shù)學(xué)家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經(jīng)說過：“我們也不知道埃及人是否認(rèn)識到畢達(dá)哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結(jié)，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實。”不過在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經(jīng)過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當(dāng)其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠(yuǎn)？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數(shù)表，在表中一共有四列十五行數(shù)字，不難看出這是一組勾股數(shù)，從右邊到左邊一共有15組勾股數(shù)，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認(rèn)識。
對勾股定理進(jìn)行分類討論可以對有可能出現(xiàn)的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經(jīng)典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結(jié)
勾股定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)的基本定理之一，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進(jìn)行的驗證，這會帶領(lǐng)大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)的思考，養(yǎng)成多方面看待問題的思維習(xí)慣。通過本文主要是想讓學(xué)生能夠?qū)W好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學(xué)好勾股定理對我們今后的學(xué)習(xí)和研究由很大的幫助，所以我們學(xué)者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當(dāng)大的價值。
參考文獻(xiàn)
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[2]王工一.論《九章算術(shù)》和中國古代數(shù)學(xué)的特點[J].麗水學(xué)院學(xué)報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數(shù)學(xué)[J].邵陽學(xué)院學(xué)報.2005.
[4]張俊忠.史話勾股定理[J].中學(xué)生數(shù)理化.2002.
1.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。
2.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。
3.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。
二、重點、難點
1.重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
2.難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
三、例題的意圖分析
例1(補充)利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。
例2(補充)使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。
例3(補充)勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。
四、課堂引入
勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題目。
五、例習(xí)題分析
例1(補充)已知：在ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
試判斷ABC的形狀。
一、注意分清直角邊和斜邊
例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三邊長c.
錯解:由勾股定理,得 , .所以第三邊長為 ㎝.
分析:本題解法中錯在沒有正確運用題中所給的條件,忽視了 ,由于 ,所以b應(yīng)為斜邊,而不是c.
正解:因為 , , ,
,故第三邊長為 6㎝.
二、注意定理的應(yīng)用條件
例2 已知 中,三邊長a、b、c為整數(shù),其中a=3㎝,b=4㎝,求第三邊c的長.
錯解: 由勾股定理,得 , , (㎝).
分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中,本題解法是受"勾3股4弦5 "的影響,錯把 當(dāng)成直角三角形,導(dǎo)致錯誤的使用勾股定理.
正解: 由三角形三邊關(guān)系可得 , ,又c為整數(shù), C的長應(yīng)為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.
三、注意定理和逆定理的區(qū)別
例3 判斷下列三條線斷能否構(gòu)成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
錯解: ,即 ,所以根據(jù)勾股定理可知,a、b、c能構(gòu)成直角三角形.
分析: 本題錯在在解題依據(jù)上混淆了定理和逆定理的條件結(jié)論,勾股定理是由"形"推得"數(shù)",而逆定理則是由"數(shù)"推得"形".因此不可混用.
正解: ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三條線段能構(gòu)成直角三角形.
四、注意解題語言敘述
例4 已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形.
錯解:因為直角邊是5和12,斜邊是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.
分析:解法中錯在一開始就明示了"直角邊"和"斜邊",事實上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為"直角邊"、"斜邊".
正解: ,滿足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.
五、注意分類討論
例5 在Rt 中,已知兩邊長為3、4,求第三邊的長.
錯解: 因為 是直角三角形, 的第三邊長為 .
分析: 本題錯在只考慮3、4為直角邊的可能,而忽視了4也可以作為斜邊的情況,因此須分類討論.
正解:(1)若4為直角邊,則第三邊的長為 ;(2) 若4為斜邊, 則第三邊的長為 .故第三邊長為5或 .
例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求 的周長.
錯解:如圖1所示,
由勾股定理,得 ,
, .
的周長為 .
分析:上面解法中,只考慮了三角形的高在三角形內(nèi)部的情況,忽視了高在形外的情況,即當(dāng) 是鈍角三角形時.因此須分類討論.
正解: 由勾股定理,得 , .
(1)若 是銳角(如圖1),則 ,這時 的周長為
;
(2) 若 是鈍角(如圖2),
則 ,這時 的周長為 .所以 的周長為12或 .
例7已知在Rt 中,兩直角邊的長為20和15, ,求BD的長.
錯解: 如圖3所示,
由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得
, ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .
分析:本題錯在只考慮了AB的長是20的可能,忽視了AC的長也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.
正解: 由題意根據(jù)勾股定理,得 ,又由面積法可得 , .
(1)當(dāng)AB=20時,如圖3,BD= .
(2) 當(dāng)AC=20時,如圖4,
BD= .
二、探索性學(xué)習(xí)不可或缺的題材
數(shù)學(xué)新課程理念下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將大量采用操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式。而勾股定理是
三、通過勾股定理的欣賞與應(yīng)用，接受文化的洗禮與熏陶，體會數(shù)學(xué)獨特的魅力
勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，不論哪個國家、民族，只要是具有自發(fā)的(不是外來的)古老文化，他們都會說：我們首先認(rèn)識的數(shù)學(xué)定理就是勾股定理。在西方文獻(xiàn)中，勾股定理一直以古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約前580－約前500)的名字來命名，稱為畢達(dá)哥拉斯定理。更有趣的是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在《數(shù)學(xué)的用場和發(fā)展》一文中談到了想象中的首次宇宙“語言”時，就提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其它星球，作為地球人與其它星球上的“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言。可以說勾股定理是傳承人類文明的使者，是人類智慧的結(jié)晶，是古代文化的精華。因此，世界各國都非常重視勾股定理的社會文化價值，許多國家還發(fā)行了諸多勾股定理的相關(guān)郵票。
勾股定理的教學(xué)過程：
1、巧妙展示定理
以《周髀算經(jīng)》中西周開國時期周公與商高的對話引入：
周公問：天沒有階梯無法攀登，地沒有尺子無法丈量，請問怎樣才能求的天有多高，地有多廣呢？
商高答：“故折矩以為勾廣三、股修四，徑隅五”
這就是“勾三股四弦五”即勾股定理的由來，這條定理在西方又叫畢達(dá)哥拉斯定理或百牛定理。在畢達(dá)哥拉斯給出證明之后用以斬殺百牛來慶祝而得名。那么，勾股定理究竟是什么意思，它是怎樣證明的，等我們學(xué)習(xí)了這節(jié)課后就清楚了。
設(shè)計意圖：利用勾股定理的歷史起源來巧妙的展示定理，創(chuàng)設(shè)了一個學(xué)生感興趣的問題情境，引起學(xué)生的好奇心。
2、建立新舊聯(lián)系，展示勾股定理
回顧三角形的邊長知識，讓學(xué)生利用三角板畫任意大小的直角三角形，測量三邊并計算邊長的平方值。然后引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”
設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會歸納法的規(guī)律――由一般到特殊，并通過測量了解勾股定理的結(jié)論。
3、展示數(shù)學(xué)思想，介紹證明方法
上述測量結(jié)果得到的算式只能用“≈”表示，是因為測量總是存在誤差。在古代，沒有精密的測量工具，人們是怎么發(fā)現(xiàn)勾股定理的呢？
證明方法一：趙爽弦圖（出入相補證明法）
利用課前準(zhǔn)備好的四個等大的直角三角形和一個正方形，模擬“趙爽弦圖”的推導(dǎo)過程，如下圖：
關(guān)鍵詞：勾股定理；歷史；證明
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）10-0106-02
在我國最古老的數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周時的賢大夫）請教數(shù)學(xué)知識的對話，昔者周公問商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，……以為勾廣三，股修四，徑偶五。既方之……”譯文：從前周公問商高：“我私下聽說你善于演算，請問遠(yuǎn)古者包犧氏（傳說中的人物）對整個天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由臺階而上，地不能用尺寸來量，請問相關(guān)的數(shù)據(jù)是怎樣產(chǎn)生的？”商高說：“……在對矩形（長方形）沿對角線對折時，會產(chǎn)生短邊（勾）長為3，長邊（股）長為4，斜長（弦）為5的直角三角形的比率。”故有人稱之為“商高定理”。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；勾股定理歷史；融入；教學(xué)策略
1.勾股定理歷史融入教學(xué)的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時引入數(shù)學(xué)史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼感，可使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無味的學(xué)科，而是一門不斷發(fā)展的生動有趣的學(xué)科，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強歷史熏陶
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數(shù)學(xué)史提得很少，其實中國古代數(shù)學(xué)家對于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學(xué)的策略
在勾股定理教學(xué)的過程中，要求我們在教學(xué)活動中，注意結(jié)合教學(xué)實際和學(xué)生的經(jīng)驗，依據(jù)一定的目的，對勾股定理歷史資源進(jìn)行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學(xué)生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發(fā).在實踐過程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設(shè)中融入勾股定理歷史
建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強調(diào)情景創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實，數(shù)學(xué)史總歸是真實的.情景創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問題情景，不僅有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也是對學(xué)生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學(xué)們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學(xué)家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認(rèn)識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人.中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學(xué)史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創(chuàng)造過程，對這種過程的再現(xiàn)，不僅能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學(xué)不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術(shù)》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學(xué)界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學(xué)生動手驗證）
證明方法之特征：數(shù)形結(jié)合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學(xué)問題趣味化.
翻開古今的數(shù)學(xué)史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠(yuǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn).將數(shù)學(xué)史的知識融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項有力的措施.正象法國數(shù)學(xué)家包羅·朗之萬所說：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史具有百利而無一弊.”
參考文獻(xiàn)
[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （實驗稿） 》[S] 北京：北京師范大學(xué)出版社
【關(guān)鍵詞】勾股定理；體驗探究；勾股定理的證法；剪切拼圖法；風(fēng)車證法；勾股數(shù)組
一、創(chuàng)設(shè)思維情境，引出并體驗勾股定理
數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、同學(xué)之間交流、互動與共同發(fā)展的過程.我們的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探究、交流，主動地豐富自己的數(shù)學(xué)知識和能力。為此，在我的教學(xué)過程中將自己所任課的班分成5個研究性學(xué)習(xí)小組，各組有人負(fù)責(zé)，并聘請老師參加和指導(dǎo)。
勾股定理是一個古老而有趣的問題，幾乎每位同學(xué)都知道“勾三股四弦五”這個定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，則存在32+42=52這種關(guān)系。
在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關(guān)系呢？為體驗這個事實，我們再作些直角三角形，并測量所求結(jié)果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）題，作直角三角形，測量的結(jié)果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類同，測得a=7。
體驗是“人們存在的方式”，是人的“素質(zhì)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié)”，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷體驗，才會激起學(xué)生無休止的好奇心、探索欲和創(chuàng)造力。經(jīng)過上述反復(fù)體驗，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長，c為斜邊長，則：a2+b2=c2。
進(jìn)而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三邊長分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。
二、探究勾股定理的證明
老師可提前布置各小組同學(xué)，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應(yīng)用。在數(shù)學(xué)課（或研究課）上，各小組可指派代表發(fā)言和演示，給出他們研究和探索的結(jié)果，經(jīng)過師生互相交流，大家對勾股定理的證明和應(yīng)用全面認(rèn)識和深刻的理解。總結(jié)各小組的證法如下：
證法一：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
證法二：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
證法三：將并排的兩個正方形進(jìn)行割補（如圖3）將剪掉的標(biāo)有1、2、3的三角形填補，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2
證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD?AB，BC2=DB?AB
AC2+BC2=AD?AB+DB?AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面給出比較著名的兩個證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）
在圖4中，因為分割長直角邊上的正方形，使其形如風(fēng)車，所以這一方法稱為“風(fēng)車證法”。“風(fēng)車證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：
作正方形的中心O；
過O做直線垂直AB交正方形的兩邊與M、N；
過O做直線垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；
沿線段MN、PQ剪開即可。
至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來考慮。簡單的說，那是因為四邊形BMOP經(jīng)平移變?yōu)镚FAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀甚至是錯誤的方法，對于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學(xué)構(gòu)思出來的方法。即使做法和結(jié)論是錯誤的，我們也要找出錯誤的原因，從中吸取經(jīng)驗和受到啟發(fā)。要通過觀察、思考、動手試驗等過程引導(dǎo)學(xué)生不斷探究新的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法。
三、勾股數(shù)組
我們把滿足x2+y2=z2的三個正整數(shù)x、y、z叫勾股數(shù)。（x、y、z）叫做勾股數(shù)組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數(shù)組叫做基本勾股數(shù)組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數(shù)組，而（6，8，10）不是基本勾股數(shù)組.容易看出，若（x，y，z）是一個基本勾股數(shù)組，則（kx、ky，kz）都是勾股數(shù)組。
我們把邊長為勾股數(shù)的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個應(yīng)用。
定理：勾股三角形的內(nèi)切圓的半徑一定是整數(shù).
證明：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r=■
由于勾股數(shù)a、b、c不能同時為奇數(shù)，所以a+b-c為偶數(shù)，從而r為整數(shù)。
許多數(shù)學(xué)問題規(guī)律性很強，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數(shù)組，這里將我們師生探究勾股數(shù)得到的結(jié)論給出來。設(shè)Rt的直角邊長為x，y，斜邊長為z，且n，s，t都是正整數(shù)，則勾股數(shù)組有兩類：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
從表中我們發(fā)現(xiàn)，第一類勾股數(shù)滿足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類勾股數(shù)組不是基本的，但它對第一類給以補充。我們還發(fā)現(xiàn)許多有趣的結(jié)論，如：x，y，z不可能都是奇數(shù)，它們中可以有一個偶數(shù)或全部是偶數(shù)。再如：（x，y，z）是基本勾股數(shù)組，則x，y中必有一個能被3整除，等等。
在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，給我們帶來的啟示很多，首先是這個古老問題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應(yīng)用以及勾股數(shù)的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對知識的傳承，更多的是激發(fā)了我們師生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，提高了空間想象能力和創(chuàng)造性思維。
【參考文獻(xiàn)】
