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第1篇

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；漏根；漏值

一題多解問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種經(jīng)典題型，是每次大考必出的題型。中學(xué)數(shù)學(xué)考試中沒有多項(xiàng)選擇題，而一題多解（根）問題其實(shí)就是多項(xiàng)選擇題的變形，是多項(xiàng)選擇題的有效補(bǔ)充。由于學(xué)生在分析一題多解（根）問題時(shí)對(duì)題目全局沒有考慮透徹，導(dǎo)致“漏根”“漏值”。通過反思、總結(jié)，我認(rèn)為在初中階段主要有以下幾個(gè)“點(diǎn)”會(huì)出現(xiàn)“漏根”“漏值”問題：

一、絕對(duì)值中的“漏根”“漏值”問題

此類問題關(guān)鍵點(diǎn)是某數(shù)絕對(duì)值為一個(gè)正數(shù)，則滿足條件是解有兩個(gè)，且互為相反數(shù)。即|x|=a則x=±a。

例1 若|x|=5，則x的值為：_______。

分析：這個(gè)題目有同學(xué)在做的過程中只考慮-5這個(gè)值，而漏了+5這個(gè)值，主要原因是對(duì)絕對(duì)值性質(zhì)沒有全面理解而造成的，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中只要對(duì)絕對(duì)值的性質(zhì)全面理解該問題就能迎刃而解。

例2 在數(shù)軸上與表示“1”的點(diǎn)距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)為：_______。

分析：本題型其實(shí)也是對(duì)絕對(duì)值的性質(zhì)理解的問題，由于距離無方向，這樣的點(diǎn)在1的左右兩邊各有一個(gè)，所以這樣的點(diǎn)共有2個(gè)，而部分學(xué)生只考慮到1的右邊這一點(diǎn)，而漏掉左邊這一點(diǎn)，導(dǎo)致“漏根”“漏值”。如圖可見，在1的左右各有一點(diǎn)分別為：-2和4。

二、圓中的“漏根”“漏值”問題

在圓中出現(xiàn)“漏根”“漏值”的情況比較多，主要是因?yàn)橹本€與圓、圓與圓的位置關(guān)系、圓周角等的多樣性，導(dǎo)致“根”和“值”的多樣性，如果對(duì)題目的把握沒有總體觀念，或總體觀念不強(qiáng)，均會(huì)造成“漏根”、“漏值”。

1.同弦所對(duì)的圓周角中的“漏根”“漏值”情況。

同弦所對(duì)的圓周角分兩種情況，在弦同側(cè)及異側(cè)（因?yàn)閳A中一條弦把圓分成兩段弧，每段弧都對(duì)著一個(gè)圓周角），它們是一組互補(bǔ)的角。

例3 在O中，弦AB所對(duì)的圓心角為120°，則弦AB所對(duì)的圓周角為：_______。

分析：如圖，大多數(shù)時(shí)候考生在解此題時(shí)只考慮到∠C，而忽略了∠D，導(dǎo)致“漏根”“漏值”。

2.兩圓相切求圓心距的“漏根”“漏值”問題。

由于兩圓相切分兩種情況：外切與內(nèi)切。而考生經(jīng)常只考慮到其中一種。

例4 已知O與O′相切，它們的半徑分別為3和6，則的圓心距為：_______。

分析：如圖兩圓相切分外切和內(nèi)切兩種情況：

情況一：兩圓外切時(shí)，圓心距為兩圓半徑之和，此時(shí)圓心距為3+6=9。

情況二：兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為兩圓半徑之差，此時(shí)圓心距為：6-3=3。

綜上所述，O與O′的圓心距為9或3。此類題主要注意兩圓相切分為相內(nèi)切和相外切，如果題目沒有指明是相外切還是相內(nèi)切，一定要將兩種都考慮進(jìn)去，否則就會(huì)出現(xiàn)“漏根”“漏值”。

3.在同圓中求兩條平行弦間的距離時(shí)的“漏根”“漏值”問題。

此類題型其主要分兩條平行弦是在圓心同側(cè)還是在圓心異側(cè)兩種情況，而考生經(jīng)常只考慮其中一種情況。

例5 已知O的兩條平行弦長(zhǎng)分別為6和8，圓的半徑為5，求兩弦的距離。

分析：圓中兩條弦平行分兩種情況：

情況一：當(dāng)兩平行弦在圓心同側(cè)時(shí)過點(diǎn)O作AB弦與CD弦的垂線，通過垂徑定理及勾股定理可求得兩弦的距離為：1。

情況二：當(dāng)兩平行弦在圓心異側(cè)時(shí)過點(diǎn)O作AB弦與CD弦的垂線，通過垂徑定理及勾股定理可求得兩弦的距離為：7。

此類型題在題目未給定兩平行弦是否是在圓心的同側(cè)或異側(cè)，一定將兩種情況均考慮進(jìn)去，避免“漏根”、“漏值”。

4.圓中的其他“漏根”“漏值”情況。

已知一點(diǎn)到圓周的最長(zhǎng)與最短距離求直徑的“漏根”“漏值”情況。當(dāng)已知點(diǎn)未給定在圓內(nèi)還是圓外，需將兩種情況均考慮進(jìn)去。

例6 已知點(diǎn)A到的最長(zhǎng)距離及最短距離分別為6和2，求的直徑。

分析：由于點(diǎn)A未給定是在圓內(nèi)還是在圓外，所以必須對(duì)點(diǎn)A分在圓內(nèi)和圓外來考慮，否則將會(huì)出現(xiàn)“漏根”“漏值”情況。

對(duì)點(diǎn)A的位置進(jìn)行分類后，易知O的直徑為：4或8。

已知圓半徑及公共弦長(zhǎng)，求圓心距時(shí)的“漏根”、“漏值”情況，此類題型主要注意是否指明兩圓心是在公共弦的同側(cè)及異側(cè)，否則必須分兩種情況進(jìn)行考慮，不然就會(huì)出現(xiàn)“漏根”、“漏值”情況。

例7 已知兩圓半徑分別為6和8，公共弦長(zhǎng)為10，求兩圓的圓心距。

分析：本題沒有指明圓心是在公共弦的同側(cè)還是異側(cè)，必須將兩種情況考慮進(jìn)去，而考試常常只考慮一種情況導(dǎo)致“漏根”“漏值”情況的發(fā)生。

本題分類后利用勾股定理不難得出結(jié)果。

三、三角形中的“漏根”“漏值”情況。

三角形中會(huì)出現(xiàn)“漏根”“漏值”的題型常見的有兩類：一是等腰三角形中已知兩邊長(zhǎng)求周長(zhǎng)或已知一角求其余兩角；二是直角三角形中已知兩邊求第三邊。

類型一：等腰三角形中的“漏根”“漏值”問題

1.已知等腰三角形兩邊求第三邊。由于沒有指定已知這兩邊哪一邊是腰，哪一邊是底。所以要分兩種情況來考慮，同時(shí)要注意三邊長(zhǎng)是否滿足三角形三邊之間的關(guān)系。

例8 已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和7，求三角形周長(zhǎng)。

分析：由于沒有指定4和7哪一邊是腰，所以分兩種情況考慮。

當(dāng)4為腰時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為4、4、7，滿足三角形三邊之間的關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為15。

當(dāng)7為腰時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為7、7、4，滿足三角形三邊之間的關(guān)系，此時(shí)周長(zhǎng)為18。

例9 已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角為70°，求此三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

分析：由于沒有指定已知角是頂角還是底角，所以分兩種情況進(jìn)行考慮，并利用三角形的內(nèi)角和為180°來求出結(jié)果。

情況一：當(dāng)已知角為頂角時(shí)，三個(gè)內(nèi)角分別為：70°、55°、55°。

情況二：當(dāng)已知角為底角時(shí)，三個(gè)內(nèi)角分別為：70°、70°、40°。

注意：當(dāng)已知角大于或等于90°時(shí)，不能做底角，只能做頂角。

類型二：直角三角形中已知兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)。

由于沒有指定已知兩邊均為直角邊還是一邊為直角邊一邊為斜邊，所以必須分兩種情況考慮，否則將出現(xiàn)“漏根”“漏值”情況。

例10 已知直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和4，求第三邊長(zhǎng)。

分析：本題中考生經(jīng)常將3和4當(dāng)直角邊（因3、4、5這組勾股數(shù)的思維定勢(shì)）來考慮，導(dǎo)致“漏根”“漏值”情況。其實(shí)題目中并沒有給定已知邊均為直角邊還是一邊為斜邊一邊為直角邊。所以必須分兩種情況進(jìn)行考慮。

情況一：當(dāng)已知邊3和4均為直角邊時(shí)，此時(shí)要求的第三邊為斜邊，根據(jù)勾股定理易得出第三邊為5。

情況二：當(dāng)已知邊3為直角邊，4為斜邊是，此時(shí)要求的第三邊為直角邊，根據(jù)勾股定理不難得出第三邊長(zhǎng)為。

第2篇

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 以惑教學(xué) 方法 實(shí)驗(yàn) 反思

“以惑教學(xué)”是一種很好的教學(xué)模式，尤其能夠在初中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中發(fā)揮積極的教學(xué)輔助功效。教師可以透過激發(fā)學(xué)生的疑惑來實(shí)現(xiàn)教學(xué)導(dǎo)入，并且以此為知識(shí)教學(xué)的有效鋪墊。好的問題不僅能夠讓學(xué)生的好奇心與求知欲充分被調(diào)動(dòng)起來，還能夠很好的激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生們更為靈活的展開對(duì)于知識(shí)的有效應(yīng)用。這才是高效的課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)收獲的教學(xué)成效。

一、教學(xué)情境的良好引入

以惑教學(xué)需要循序漸進(jìn)的展開，首先，教師要有效的實(shí)現(xiàn)教學(xué)情境的導(dǎo)入，這是以惑教學(xué)能夠很好的展開的基礎(chǔ)。教師可以透過一個(gè)話題的創(chuàng)設(shè)或者是一個(gè)相關(guān)的生活場(chǎng)景的呈現(xiàn)來引入課堂教學(xué)的主題，并且在過程中有效的引發(fā)相關(guān)的問題讓學(xué)生們思考，這也是將“惑”很好的提出的一個(gè)有效的方法。在進(jìn)行以惑教學(xué)時(shí)一定要凸顯學(xué)生的教學(xué)主體性，最好能夠讓學(xué)生們自己去發(fā)現(xiàn)問題，或者是幫學(xué)生們構(gòu)建相關(guān)的認(rèn)知沖突，這樣的教學(xué)過程才能夠更好的活躍學(xué)生的思維，讓以惑教學(xué)能夠進(jìn)一步得到深入。只有在良好的教學(xué)情境下大家對(duì)于課堂教學(xué)的參與積極性才會(huì)更高，這樣才能更好的展開后續(xù)的提出問題乃至解決問題的教學(xué)。

在以惑教學(xué)正式展開前，首先需要教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出適合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場(chǎng)景，誘導(dǎo)學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生疑問。例如，教師在向?qū)W生傳授《三角形基本知識(shí)》的時(shí)候，可以這樣進(jìn)行導(dǎo)入：同學(xué)們，大家覺得生活中有什么樣的物體是三角形的呢？這時(shí)候，同學(xué)們就開始分組討論，大家透過平時(shí)對(duì)于生活中的觀察紛紛列舉了生活中的各種三角形的案例。大家對(duì)于三角形的認(rèn)知程度在一點(diǎn)點(diǎn)積累，教學(xué)導(dǎo)入的效果已經(jīng)很好的得以實(shí)現(xiàn)。

二、“疑惑”的有效提出

隨后需要進(jìn)行的便是以惑教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，即問題的提出。以怎樣的方式提出問題這一點(diǎn)非常重要，這也是以惑教學(xué)能否收獲好的教學(xué)成效的一個(gè)重要決定因素。教師要在前面的教學(xué)鋪墊的作用下很好的將學(xué)生的思維引發(fā)到課堂教學(xué)的核心問題上來，并且要保障問題提出的方式易于被學(xué)生們接受。同時(shí)，對(duì)于問題的引出也要注重方法，并且問題的難易程度要有合理的把控。問題最好能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲望，同時(shí)，在難度上也是學(xué)生們能夠理解，并且可以很好的鍛煉大家思維的問題類型。這樣的導(dǎo)入環(huán)節(jié)才是好的教學(xué)開端，進(jìn)而讓以惑教學(xué)能夠收獲更好的教學(xué)成效。只有以最為合適的方式將問題提出才能夠讓大家更明確的對(duì)于問題進(jìn)行思考與探究，進(jìn)而更好的獲知這部分教學(xué)重點(diǎn)。

仍然以上述內(nèi)容的教學(xué)為例，在學(xué)生們紛紛列舉了生活中常見的三角形后，教師可以進(jìn)一步向?qū)W生發(fā)問，可以拿出事先準(zhǔn)備好的教具來檢驗(yàn)學(xué)生的認(rèn)知情況：上面哪些是三角形？學(xué)生們就會(huì)回答指出哪些是三角形。教師要適時(shí)給予學(xué)生們一些肯定與鼓勵(lì)，并且進(jìn)一步引出核心問題：同學(xué)們很注意觀察生活，那么有沒有同學(xué)能解釋一下，為什么其他的圖形不是三角形呢？向?qū)W生提問的目的就是讓學(xué)生對(duì)判斷三角形條件的相關(guān)概念產(chǎn)生興趣。教師在實(shí)際教學(xué)中要選擇難度適中的“惑”，如果“惑”太難，學(xué)生思考起來就會(huì)相當(dāng)吃力，也不利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。如果“惑”太簡(jiǎn)單，學(xué)生覺得解決起來沒有挑戰(zhàn)性，也不利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。只有讓疑惑在充分激發(fā)學(xué)生的探究欲望的同時(shí)也很好的鍛煉學(xué)生的思維能力，這樣的問題才是以惑教學(xué)中好的問題范例，并且能夠輔助學(xué)生們對(duì)于這部分知識(shí)有更好的理解與吸收。

三、問題的合理解答

以惑教學(xué)的最后一個(gè)部分便是在教師的輔助下學(xué)生們很好的找到問題的答案，這也是學(xué)生知識(shí)獲取的環(huán)節(jié)所在。在個(gè)教學(xué)過程中教師要注重對(duì)于學(xué)生的引導(dǎo)，不能是教師將知識(shí)主動(dòng)的傳輸或者灌輸給大家，而是應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)大家自己積極的去探索與發(fā)現(xiàn)。這樣才能夠更好的引發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，并且讓大家的理解能力與分析能力都得到非常有效的鍛煉。只有在自主獲取的基礎(chǔ)上學(xué)生們對(duì)于這部分知識(shí)的印象才會(huì)更深，對(duì)于這部分教學(xué)內(nèi)容的掌握也會(huì)更為牢固。

問題的解答過程主要由以下環(huán)節(jié)所構(gòu)成：研究→憤→啟→研究→發(fā)現(xiàn)→解惑。環(huán)節(jié)中的“研究”指的是學(xué)生主動(dòng)的去尋找解決問題的方式。“憤”指的是學(xué)生想要盡快解決問題但是還沒有充分把問題弄明白的心里狀態(tài)，學(xué)生產(chǎn)生這種心理的時(shí)候，教師就應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的啟發(fā)。鼓勵(lì)學(xué)生遇到困難不要放棄思考，要對(duì)問題進(jìn)行深入性的探究。經(jīng)過教師的鼓勵(lì)，學(xué)生能夠在原有基礎(chǔ)上對(duì)問題有了一定程度的了解，但卻沒有辦法用具體的語(yǔ)言加以表達(dá)，這就說明學(xué)生進(jìn)入到了“悱”的階段。在這時(shí)候，教師再進(jìn)一步的對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。隨著學(xué)生的思路逐漸開闊起來，并且輔以更有效的研究，學(xué)生們慢慢會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的一些核心內(nèi)容，對(duì)于這部分知識(shí)終于能夠理解清楚，疑惑也就被解除，知識(shí)獲取過程完整的得以實(shí)現(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】   [本文由WWw. dYlw.NE t提供，第 一論 文網(wǎng)專業(yè)寫作職稱論文和畢業(yè)論文以及服務(wù)，歡迎光臨DYlw.neT]

[1] 彭勇. 初中數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)的實(shí)踐與研究[D]. 廣州大學(xué)，2012.