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中圖分類號:G642 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2012)22-015-01
一、問題的提出
《義務教育數學課程標準》(2011年版)(以下簡稱《課標》) 總體目標中的第一個目標是:“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識(數學事實、數學活動的經驗)以及基本的數學思想方法和必要技能。”并且進一步指出:要從過去培養學生的“雙基” 變為“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)。由此可見數學思想方法在數學教育中的重要性和必要性。因此,開展數學思想方法教育應作為新課改中所必須把握的教學要求,也是培養學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
二、進行數學思想方法教學的教育價值
所謂數學思想方法是對數學知識的本質認識,是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點和精髓,它在認識活動中被反復運用,帶有普遍的指導意義,是建立數學和用數學解決問題的指導思想。在初中進行數學思想方法教育,是培養和提高學生數學素養的重要內容。
(一)數學思想方法是教材體系的靈魂。從教材的構成體系來看,整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條線。一條是由具體知識點構成的易于被發現的明線,它是構成數學教材的“骨架”;另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的暗線,它是構成數學教材的“血脈”靈魂。沒有脫離數學知識的數學思想方法,也沒有不包含數學思想方法的數學知識。有了數學思想方法作靈魂,各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。
(二)數學思想方法是進行教學設計,提高課堂質量的指導思想。無論哪個層次上的教學設計,都必須依靠數學思想作為指導。有了深刻的數學思想作指導,才能做出創新設計來。教學中教師只有達到一定的思想深度,才能保證準確辨別學生提出的各種各樣問題的癥結,給出中肯的分析,把眾多學生牢牢地吸引住,并能積極主動地參與到教學活動中來,真正成為教學過程的主體;也才能使有一定思想的教學設計,真正變成高質量的數學教學活動過程。
(三)數學思想方法對學生認知的實現發揮著重要的作用
學習的認知結構理論告訴我們,數學學習是一個數學認知過程,這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的,無論是同化還是順應,都是在原數學認知結構和新的數學內容之間,改造一方去適應另一方,這種加工要具有自覺的方向性和目的性。數學思想方法擔當起了指導“加工”的重任,它不僅提供思想策略(設計思想),而且還提供實施目標的具體手段(化歸技能)。
三、進行數學思想方法教學的策略
(一)了解《課標》要求,整體把握數學思想方法的要求。《課標》對初中數學中滲透的數學思想方法劃分為三個層次,即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中,要求學生“了解”的數學思想有:數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。教師在整個教學過程中,要認真把握好“了解”、“理解”、“會應用”這三個層次的具體要求。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次,把“理解”的層次提高到“會應用”的層次,否則,學生初次接觸就會感到數學思想方法抽象難懂,高深莫測,從而導致他們失去信心,教學效果將是得不償失。
(二)訓練方法,理解思想。數學思想的內容是相當豐富的,方法也有難有易。因此,必須分層次地進行滲透和教學。這就需要教師全面地熟悉初中三個年級的教材,鉆研教材,努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素,對這些知識從思想方法的角度作認真分析,由易到難分層次地貫徹數學思想方法的教學。
(三)掌握方法,運用思想。數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握。數學思想方法的形成有一個循序漸進的過程。只有經過反復訓練才能使學生真正領會。使學生形成自覺運用數學思想方法的意識,必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”,這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。
(四)提煉方法,完善思想。教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括,讓學生有明確的印象。由于數學思想、方法分散在各個不同部分,而同一問題又可以用不同的數學思想方法來解決。因此,教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力,這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。
總之,在初中數學教學中,加強學生對數學思想方法的理解和應用,以達到對數學本質的理解,有效提高教學效率,實現素質教育目標,是一項艱苦而長期的工作,每個數學教育工作都應為此做出不懈的努力。
參考文獻:
一、開展數學思想方法的教育是新課標提出的重要教學要求。
新課標突出強調：“在教學中應當引導學生在學好概念的基礎上掌握數學的規律（包括法則、性質、公式、公理、定理、數學思想和方法）。良好的數學知識結構不完全取決于教材內容和知識點的數量，更應注重數學知識的聯系、結合和組織方式，把握結構的層次和程序展開后所表現出來的內在規律。數學思想方法能夠優化這種組織方式，使各部分數學知識融合成有機的整體，發揮其重要的指導作用。甚至會對個體的世界觀、方法論產生深刻的影響，形成數學學習效果的廣泛遷移。
二、初中數學中蘊含的數學思想方法
最基本的數學思想方法是數形結合的思想，分類討論思想、轉化思想、函數的思想，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。
1、數形結合的思想
“數”和“形”是數學教學中既有區別又有聯系的兩個對象。在數學教學中，突出數形結合思想，有利于學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。
2、分類討論的思想
“分類”是生活中普遍存在著的，分類思想是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，也是研究數學問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數學教學中。從整體上看，中學數學分代數、幾何兩大類，然后采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現。從具體內容上看，初中數學中實數的分類、三角形的分類、方程的分類等等，在教學中就需要啟發學生按不同的情況去對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
3、轉化思想
數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，中學數學處處都體現出轉化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。
三、數學教學中進行數學思想方法的教學應把握的幾個方面
1、在概念教學中滲透數學思想方法
數學概念是現實世界中空間形式和數量關系及其本質屬性在思維中的反映，人們先通過感覺、知覺對客觀事物形成感性認識，再經過分析比較，抽象概括等一系列思維活動而抽取事物的本質屬性才形成概念。因此，概念教學不應只是簡單的給出定義，而要引導學生感受及領悟隱含于概念形成之中的數學思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘數學思想方法
著名數學家華羅庚說過：“學習數學最好到數學家的紙簍里找材料，不要只看書上的結論。”這就是說，對探索結論過程的數學思想方法學習，其重要性決不亞于結論本身。數學定理、公式、法則等結論，都是具體的判斷，其形成大致分成兩種情況：一是經過觀察，分析用不完全歸納法或類比等方法得出猜想，爾后再尋求邏輯證明；二是從理論推導出發得出結論。總之這些結論的取得都是數學思想方法運用的成功范例。
3、在問題解決過程中強化數學思想方法
許多教師往產生這樣的困惑：題目講得不少，但學生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍稍一變則不知所措，學生一直不能形成較強解決問題的能力。更談不上創新能力的形成。究其原因就在于教師在教學中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚”更為重要。
四、進行數學思想方法的教學應遵循的原則。
1、循序漸進原則。
數學思想方法的形成難于知識的理解與掌握。學生學習數學思想和方法一般要經歷三個階段，一是模仿形成階段，它們往往只注意了數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的觀點，以及由此產生的解決問題的方法和策略，即使有所覺察，也是處于"朦朦朧朧"、"似有所悟"的境界。二是初步應用階段，即學生對數學思想方法的認識開始已經明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會概括總結出來。 三是自覺應用階段，學生能根據數學問題，恰當運用某種思想方法進行探索，以求得問題的解決。學生數學思想方法的學習過程，決定了數學思想方法的教學不可能一步到位，也有一個相應的循序漸進、由淺入深的過程，因此要按照"反復教育、初步形成、應用發展"的順序來完成某一數學思想方法的教學。
2、學生參與原則。
由于數學思想方法比數學知識更抽象，不可能照搬、復制。數學思想方法的教學是數學活動過程的教學，重在思辯操作，離開教學活動過程，數學思想方法也就無從談起。只有組織學生積極參與教學過程，在老師的啟發引導下逐步領悟、形成、掌握數學思想方法。因此，要通過教學，讓學生在學習數學知識過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式構建出數學思想方法的體系。
五、數學思想方法的教學策略
1、分析教材，細劃目標。
數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象概括，它蘊涵于數學知識的發生、發展和應用過程中。在一章或一單元的教學中，將涉及很多的數學思想方法，就要有意識突出一種或幾種思想方法的教學，如在不等式單元教學中將涉及代換思想、函數方程思想、數形結合思想、分類思想。為此，在進行教學目標設計時要注意其教學側重點，細劃目標，從教學思想領域和認知領域兩個方面分別設置目標。
2、嘗試不同的教學方法
長期以來，“教師教，學生學”是教學過程中的一個傳統模式，這樣的教學法已不再適應新的教學觀，應將教師的作用從“教”提高到“導”，“導”就是引導，即教師的作用是引導學生，充分地使學生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學生自己發現、歸納、總結知識。要采取各種教學方法，如：討論法、談話法、實驗法等有利于引導學生的教學方法，從而提高素質培養能力。
一、數學思想方法和教材的關系
數學教材中處處滲透著基本數學思想方法，數學概念、公式、法則、性質、公理和定理等知識都寫在教材中，是有“形”的，是教材的“明道”，它是構成數學的“骨架”，而基本的數學思想方法在教材中大多數是以隱蔽的形式存在于字里行間，它是無“形”的，是教材的“暗道”，它是構成學習教材的血脈靈魂，有了這樣的數學思想做靈魂，各種具體的的數學知識點才不再成孤立零散的東西，因為數學思想方法能將“游離”狀態的知識點凝結成優化的知識結構，有了它數學知識才能活躍起來，成為相互支持、環環緊扣的一個有機整體。可見，數學思想方法是數學的內在形式，是學生獲得知識、發展思維能力的動力工具，這就要求教師要認真挖掘、清理教材中所反映的數學思想方法，使它落實到學生的學習中，運用到數學思維活動上，它就能在發展學生的數學能力方面發揮出積極的作用，
二、加強數學思想方法的教學
數學思想方法是數學基礎知識的有機組成部分，它的教學不僅決定數學基礎知識教學的水平而且還影響著對學生的數學技能的培養和能力的發展。因此，作為數學教師必須更新教學觀念，從思想上加強對數學思想方法的認識，提高數學思想方法教學的水平。在教學設計中可以從以下四個方面進行數學思想方法的滲透：
（1）在確定教學目標時，有意識地體現數學思想方法，使每堂課的教學目標和教育目標和諧統一，在備課時既要備知識點，又要備數學思想方法，從數學思想方法的高度，深入研究教材，通過概念、公式、定理的教學滲透數學思想方法的內容。（2）在實施教學過程中有意識地運用數學思想方法。數學教學的重點往往就是需要有意識地運用或提示數學思想方法之處。在突破教學難點時，教師應利用數學思想方法，教給學生抓住重點，分散難點，化難為易，加深理解，掌握本質的途徑。如，在解二元一次方程組的教學中，學生往往感到困難的是不知道消去哪一個未知數，怎樣消？在這節教學活動中應首先提出解二元一次方程組的基本思想“消元”，通過“消元”，把二元一次方程組轉化為一元一次方程，從而求出方程組的解。把新知識轉化為舊知識來解決，在這一解題過程中運用了轉化的思想，“消元”的方法，把復雜的問題轉化為簡單的問題，從而使問題得以解決。關鍵是找好化歸的“落腳點”，從中有效地培養學生分析問題、解決問題的能力。（3）在課堂小結、單元復習時，應適時地把某種數學思想方法的關鍵點進行概括、強化和歸納，對它的名稱、內容規律、應用等有意識地加強點撥和訓練，不僅使學生可以從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在規律，而且可使學生逐步體會數學思想方法的精髓，加深對知識的理解，培養學生的聯想能力和知識的遷移能力。（4）在練習中，應加強對數學思想方法的訓練。這一環節可以分三步進行：第一步，“入軌”，通過練習的訓練，使學生知道某一數學思想方法。第二步“正軌”，利用練習訓練學生初步應用這一數學思想方法。第三步“出軌”，利用練習訓練學生能得心應手地運用這一數學思想方法去探索數學問題。
三、數學思想方法的教學應遵循的教學原則
1.滲透性原則
在具體知識的教學中，通過精心設計的學習情境和教學過程，著意引導學生領會蘊含在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。
2.反復性原則
從長期的學習過程看，學生對每種數學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，期間有一個由低級到高級的認識過程，如對同一數學思想方法應注意其在不同知識階段的再現以加強學生對數學思想方法的認識。例如，轉化的思想方法在七年級講有理數的運算時涉及轉化的思想，學生借助于這一思想把減法轉化為加法，把除法轉化為乘法。講到合并同類項時，要合并同類項只需轉化為有理數的加減運算。逐漸地學生借助于這一思想，能把復雜問題簡單化，新知識轉化為舊知識來解決，轉化的思想，在不同問題、不同階段的教學中屢次出現，每次都有不同的形式。因此，日常教學中不但要注重技巧方法的教學，到了一定的階段應上升為較高層次的數學思想方法的教學，促使學生在反復滲透中對數學思想方法的認識螺旋式上升，并能主動應用。
3.系統性原則
1 正確認識數學思想方法與能力的關系
數學思想方法是形成學生良好的認知結構的紐帶。是由知識轉化為能力的橋梁。一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對于數學課程發展的一個共識。這不僅是加強數學素養培養的一項舉措，也是數學基礎教育現代化進程的必然與要求。這是因為數學的現代化教學，是要把數學基礎教育建立在現代數學的思想基礎上，并使用現代數學的方法和語言。因此，探討數學思想方法教學的一系列問題，已成為數學現代教育研究中的一項重要課題。
2 有計劃有步驟地滲透數學思想方法
數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映出來的數學思想方法。數學思想是對于數學知識，如數學的概念、法則、公式、公理、定理、方法等的理性的、本質的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。數學方法是研究或解決數學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數學思想方法是數學的靈魂，數學思想方法與數學知識一樣，是人類長期數學發展的經驗總結和智慧結晶，是數學知識所不能替代的。所以數學思想方法的教學是數學教學中的重要組成部分，這就要求我們深入研究數學思想方法，鉆研教材，在理清知識網絡的同時，必須挖掘臆含于其中的數學思想方法；有目的、有意識的滲透、介紹和突出有關數學思想方法；有計劃、有步驟地滲透、介紹和突出有關思想方法。
3 系統性地進行思想方法的教學
數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會思考和解決問題，并對學生學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導和調控的作用。數學作為中等職業學校的文化必修課之一，它的任務是通過數學知識的學習，提高學生的推理能力、抽象能力、分析能力和創造能力，使學生具有繼續學習的能力和創新精神，能夠盡快地適應社會、服務社會。日本數學家米山國藏認為：學生進入社會以后，如果沒有什么機會應用數學，那么作為知識的數學通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻在人腦中的數學精神和數學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發揮作用。因為社會生活中有許多思維方法都和數學思想方法有著類似之處，所以在數學課程教學過程中要突出數學思想方法，這是當前中職數學教育的必然要求，也是數學素質教育的體現。下面結合中等職業學校的數學教學內容，以實例來說明課堂教學滲透的四種基本數學思想方法。
一、數形結合思想
數形結合是一種數學思想方法，數形結合思想通過“以形助數，以數解形”。“數”可以準確澄清“形”的模糊，“形”能在直觀中啟迪“數”的運算。正如華羅庚教授所言“數缺形時少直觀，形無數時難入微”。在中等職業學校的數學教材中，數形結合的思想方法應該是最常見、最常用的一種思維方法，甚至貫穿于第一冊（基礎模塊）教材的始終。從第一章用文氏圖來描述集合的運算到第二章用二次函數的圖象詮釋一元二次不等式的解以及第三章開始的基本初等函數的學習過程中，應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質。可以說，第一冊數學教材的教學內容中，能讓我們真正體會到“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。
例如，在教材第68頁選擇題中的第3題：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，則a，b，c滿足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
這道題是不同底數、不同真數的三個對數的比較。在不用計算器的情況下，要比較它們的大小關系，最好的辦法就是通過數形結合的思想方法，既形象又直觀，還能讓同學們再一次把握對數函數的圖象與其性質之間的關系，體現其中規律性與靈活性的有機結合。
二、分類討論思想
分類討論思想是根據數學對象與本質屬性的相同點與不同點將數學對象區分為不同種類的數學思想。分類討論的思想是邏輯劃分的思想在解數學題中的應用。它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題往往具有明顯的邏輯性、探索性、綜合性，能訓練學生的思維條理性和概括性。因此，在中職數學課堂教學中，教師應啟發學生按不同的情況對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類方法的原則，形成分類的思想。
例如：已知數的前n項和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此題是數列求和的相關問題，項數n的取值對結果有著直接的影響，因此，對項數n進行分類討論。
解：當n＝1時， a1＝S1＝2×12－1＝1.
當n≥2時， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事實上，在教材的內容中所體現的分類討論思想也無處不在：在學習指數函數y＝ax與對數函數y＝ logax的圖象和性質時，顯然對底數a的取值進行了分類，分成a>1和0
三、轉化思想
轉化思想是把一種數學問題轉化成另一種數學問題進行思考的方法。把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可以解決的問題，使之得到有效的解決。正如數學家C·A·雅潔婭指出：“解題就是要把未解的題轉化為已經解過的題。”數學的解題過程就是一個不斷轉化的過程。在教學中，要讓學生認識到常用的很多數學方法實質就是轉化的方法，確信轉化是可能的，而且是必須的。
例如：在教材第二章不等式中只介紹了一元二次不等式和絕對值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在課后練習中卻出現了分式不等式的求解。針對教材這樣的內容設置，筆者認為就是要讓學生真正把握在求解不等式過程中所應用的轉化思想。因此，在課堂教學中，再以下題為例：
求不等式■＞0的解。
分析：此類不等式為分式不等式，根據兩個因式之商大于零，所以符號必相同。解分式不等式可以轉化為解兩個不等式組：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而這也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以對這個分式不等式也可以轉化為一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，從而也能夠很快地歸納出一元一次分式不等式的解答規律。
四、函數思想
函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地， 函數思想是構造函數，從而利用函數的性質解題。
例如：教材第66頁習題A中第2題：某公司現在的年利潤是5000萬元，預計每年增長22%，問預計經過多少年該公司的年利潤能達到12000萬元？
分析：從問題中可以看出年利潤是年數的函數，故可以設經過x年后，公司的利潤為y萬元，則
當x＝1時，y＝5000（1＋22%）
x＝2時，y＝5000（1＋22%）2
……
從而建立數學模型。
解：經x年后，公司利潤為y＝5000（1＋22%）x.
這是指數函數。只要知道經過的年數就可以計算該公司利潤。而此題是知道年利潤反過來求年數x，所以需要轉化為對數函數， 使用計算器計算x≈4.4，因此預計經過5年該公司的年利潤能達到12000萬元。
中等職業學校的學生將來走向職業崗位遇到的問題，都是實際問題。學會應用數學模型來解決問題，工作才能做到事半功倍，得心應手。正如在整個函數教學章節中，教材都設置了函數的實際應用舉例。教師在這些例題教學中，一定要有意識、有計劃、有目的地去揭示其中所隱含的數學思想方法，培養學生的函數思想。
——米山國藏《數學的精神、思想和方法》
一、問題的提出
數學思想方法是素質教育的需要和新課程標準的要求.在素質教育理念已成為廣大教育工作者共識的今天，對數學思想方法教學的關注，也從幕后逐步被推到臺前.
科學技術發展的數學化趨勢越來越依賴于數學思想、方法的更新.現代數學日趨定量化，只有運用了數學思想方法才算成熟和取得突破性的進展，數學學科本身的發展和創新也離不開數學思想方法的突破.正因為笛卡爾把變數思想引入數學確定了解析思想，才創立了解析幾何學.因而在中學數學教學中加強數學思想的教學和研究，具有促進科技發展的戰略意義.
自20世紀80年代初，徐利治教授在大學數學系開設“數學方法論”課程以來，數學思想方法的研究不斷深入，課程建設不斷發展，越來越多的教育工作者從不同側面對數學思想方法進行研究，但主要對理論方面談得較多，至于教學實踐方面，如“具體如何滲透、體驗數學思想方法”等只是稍微提一提，沒有作深入研究.
二、數學思想方法的含義
我們認為，所謂數學思想是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想，例如：模型思想、極限思想、統計思想、最優化思想、化歸思想、分類思想等.
對于數學思想和數學方法的關系，張奠宙教授講，二者實際上沒什么區別，評價數學成就的地位、價值時，稱數學思想；用數學成就解決某個問題時，稱數學方法.例如關于統計思想方法，我們知道，進行統計推斷的方法有兩大類——統計估計和統計檢驗，每一類又都有各自的方法.但它們都是在總的指導思想即統計思想——從局部（樣本）推斷整體（母體）思想下進行的.這樣看來，要將數學思想和數學方法完全區分開來是困難的，我認為這種分開也是不必要的，于是把它們統稱為“數學思想方法”.
三、數學教學中常見的數學思想方法
數學中用到的各種解題方法，都是體現著一定的數學思想的，所以我們認為，數學教學中的數學思想方法主要有符號化思想、函數與方程的思想、集合與對應思想、化歸思想、數形結合思想、公理化與結構思想、整體與分類思想、數學模型思想、極限思想、概率與統計思想等.一般講，數學中分析、處理和解決數學問題的活動正是在數學思想方法指導下，選擇和運用相應方法通過一系列數學技能操作來完成的.
四、數學思想方法的教學價值
1.完善認知結構
根據學習的認知理論，數學學習過程是一個數學認知過程，即新的學習內容和學生原有數學認知結構相互作用，形成新的數學認知結構的過程.
例如，學生在學習線性代數中線性方程組的有關知識時，如果教師能從方程組知識中進行整理和提煉，用“轉化”“消元”等方法提煉出方程組系數之間的關系（見下圖），圖中有兩條路徑：一條是用聯立方程形式做同解變形，這就是高斯消去法，用虛線箭頭標出；另一條是用方程組的增廣矩陣做行初等變換.兩條思路其實是用不同的工具表達同一個過程，最后都歸結到方程組的最簡形式.從而優化了的關于方程組新的知識結構，這種知識結構對學生個體作用的結果，必將是數學認知結構的不斷完善.可見數學思想方法的教學對優化、發展、完善學習者的數學認知結構有著十分重要的影響.
2.指導學習遷移
遷移是一種學習對另一種學習的作用和影響，它是學習中的普遍現象，學習之間的這種影響有時是積極的，有時是消極的.凡一種學習對另一種學習起促進作用的，是正遷移，凡一種學習對另一種學習起抑制作用的，則為負遷移，學習可以“由此及彼”“舉一反三”，正是正遷移的積極作用的影響.從數學教育的目的來說，應該追求的是一種數學學習對另一種數學學習的正遷移.
3.促進思維的發展
數學常被譽為思維訓練的體操，這反映出數學思維訓練對改善思維品質、提高思維能力、掌握思維方法的重要影響.數學思想方法作為對數學知識形成的基本的看法，是人們學習和應用數學知識過程中思維活動的導航器，把握了它就等于找到了思維訓練的突破口.如果說歷史上是數學思想方法誘發了數學家們創造性思維的火花，推進了數學科學的發展，那么在當今的教學中，是數學思想方法在傳導著數學的精神，在塑造著人的靈魂，在對一代人的數學素質（尤其是思維素質）施加著深刻而持久的影響.例如，定積分最精要的思想是“近似”，最精要的手段是“取極限”，讓學生理解了這些思想，舉一反三，在理解了定積分的概念之后，就能夠很容易地理解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念.每一個數學定理、公式都有“缺陷”或局限性，我們老師應特意講出這種“缺陷”及發展前景，以及懸而未決的問題，進一步培養學生合理猜想的數學素養、探討問題的興趣及創新思維的能力.
4.發現解題途徑
認知心理學認為，問題的求解過程可以視為從初始狀態到目標狀態的運動，它通過一系列操作（主要是思維操作）來實現從一種狀態的變更，整個問題解決的過程便構成為一個受目標指引的認知性操作序列.波利亞認為，解題的過程就是不斷變更題目的過程，他說，如果不“變更問題”，我們幾乎不能有什么進展，“變更問題”是“怎樣解題”的主旋律.
例如微積分中值定理應用中尋求輔助函數的方法，是一種頗具有特色的構造性方法，掌握了這種方法就可以訓練學生的開拓性思維.而且，幾個微分中值定理的條件、結論以及各定理之間極微妙的關系均可用于激發學生的聯想.通過這幾個問題引入可以找出處理問題的方法是否唯一，有無一題多解，改變一下問題的條件會怎樣，換個角度、變換下次序考慮結果又會怎樣，等等.作為數學教學的任務就是提出問題和解決問題，掌握了數學的思想方法也就提供了抽象的邏輯推理工具，思路開闊自由，善于從不同角度不同方向提出問題和尋找解決問題的途徑.
2.該案例中的數學思想方法
（1）極限的數學思想方法、運動變化的思想方法
極限的思想方法也即無窮的思想方法是初等微積分的基本思想方法，在級數這一章的教學中體現得尤為明顯.所謂極限思想（方法）是用聯系變動的觀點，把所考察的對象（例如級數）看作是某對象（無限個數相加）在無限變化過程中變化結果的思想（方法），它出發于對過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時的結果有關，因此它體現了“從有限中找到無限，從暫時中找到永久，并用使之確定起來”（恩格斯語）的一種運動辯證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程，也就是說，它不僅是一個不斷擴展式的“潛無窮”過程，又是完成了的“實無窮”，因此是“潛無窮”與“實無窮”的對立統一體.例如級數概念的建立過程即若數列{un}，各項連加u1+u2+u3+…+un+…=∑∞[]n=1un稱為數值級數，簡稱級數.
有限和是我們熟知的，但無限和對我們是陌生的.怎樣來計算無限和呢？無限和叫作
什么？因此，求很多個數的和是一個未知的新概念，它是有限和的推廣.
（2）另外，在解題的過程中各種數學思想方法是綜合運用的，如將級數的收斂與發散轉化
一、優質的學習資源是條件
一份好的學習資源，不僅能傳遞數學基礎知識的信息，還能成為滲透數學思想方法的有效載體. 新課程標準的教材在內容呈現上符合了這樣的要求，比如“雞兔同籠”的教學內容就滲透了“替換法”、“函數”、“消元法”、“代數”等多種數學思想方法.
二、良好的滲透意識是前提
一份再精良的具備數學思想方法的學習資源，如果教師在實施過程中無法意識到它的存在，或是教師沒有滲透數學思想方法的意識，那么說滲透也是一句空話.
三、高效的教學策略是關鍵
數學思想方法作為隱性的、潛在的知識，本身不易為學生清晰地感知與把握. 那么如何才能在課堂上落實數學思想方法的滲透呢？如何使某種數學思想方法植根于學生的原有知識系統？我們教會了學生許多的數學思想與方法，學生又能否把某種數學思想方法準確地運用在具體問題中呢？如：什么情況下要使用雞兔同籠的解決策略、什么時候應用抽屜原理解決問題，什么情況下使用田忌賽馬的策略、什么時候又使用眾數、中位數、平均數……諸如此類，不一而足. 我們無法一一列舉所有的具體問題，所以只能教給他們解決問題的數學思想方法與解決問題的策略，教給他們辨析選擇方法的能力，幫助學生建構逐漸完整的知識結構，提升他們的數學思考能力與問題解決能力，從而讓他們在今后的數學思考中能夠恰當地應用思想方法解決新的問題.
案例呈現：蘇教版五年級數學下冊《解決問題的策略―倒推》
主要教學流程如下：
1. 教師動態演示：兩杯果汁共400 ml，甲杯倒入乙杯40 ml后兩杯同樣多，原來兩杯各多少？把你的思考過程記錄在紙上、并進行反饋交流.
40 ml
甲 乙 甲 = 乙
2. 一杯果汁，老師喝了80 ml，又倒進60 ml，現在有240 ml，原來有多少？（教師要求學生摘錄整理條件、解答反饋、并引導學生用順推方法進行檢驗. ）
原來？ 喝了80 ml 倒進60 ml 240 ml
3. 這樣摘錄有什么好處？
4. 為什么都用倒推的策略來解決這個問題？
5. 到底怎樣的問題適合用“倒推”的策略？
6. 在一個面積256平方米的池塘里，放入0.5平方米的水浮蓮. 如果水浮蓮日長一倍，10天正好鋪滿整個池塘. 問：第4天水浮蓮的覆蓋面積有多大？第6天、第9天呢？
案例賞析：案例中，教師先通過兩個情境相似的例題展開教學，由易而難，引導學生通過摘錄的方法整理信息，初步建立可使用“倒推策略”問題的基本模型及解決問題的基本方法. 通過思考“摘錄”的好處、為什么都用倒推的策略來解決這個問題、到底怎樣的問題適合用“倒推”的策略，讓學生明確能用倒推策略解決的問題特征，使學生在反思自己解決問題過程中，促進策略的有效形成. 再通過兩道似是而非的習題的對比練習，進一步強化能否使用“倒推策略”解決問題的特征及使用“倒推策略”解決問題時必須抓住“按序倒推”這一關鍵，完整建構應用這一策略的知識體系與思考模型. 最后一道習題有針對性地對學生進行了策略選擇能力的訓練，讓學生學習根據實際問題靈活選擇“順推”、“倒推”的解決策略，對學生進行了思維靈活性訓練，活化學生的思維，提升思維品質，促進良好數學思想方法體系的形成.
案例給我們提供的行動策略是：
1. 問題情境的創設簡單連貫
本課的問題情境圍繞“倒水”、“喝水”而創設，問題簡單、連貫，剔除了影響學生思維的不利因素，便于學生及時準確地洞察問題本質，揭示知識間的內在聯系.
2. 經歷數學思想方法的形成過程
課上，老師留給學生足夠的動手、思考的時間和空間，讓學生在充分地感知、經歷、應用、建構模型、反思內化、比較、選擇等活動中，經歷數學思想方法形成的全過程，使之對數學思想方法有深刻的感悟與全面的認識.
3. 新舊思想方法的相互交融
教學中教師綜合應用了已學的策略―列表、摘錄、畫圖，使之服務于倒推策略的理解深化，領悟到倒推策略的意義及其特點，從而建立數學模型，體驗在特定問題情境下用倒推策略解題的優越性，把新的數學思想方法有機地融入原有的知識體系.
4. 抓住關鍵進行辨析
通過抓住關鍵進行辨析、比較，使學生建立完整清晰的數學模型，從而能夠正確地應用在相應的具體問題中，避免在“似是而非”的問題面前出現錯誤應用.
數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。
“數缺形，少直觀；形缺數，難入微”，數形結合的思想，就是研究數學的一種重要的思想方法，它是指把代數的精確刻劃與幾何的形象直觀相統一，將抽象思維與形象直觀相結合的一種思想方法。
數形結合的思想貫穿初中數學教學的始終。數形結合思想的主要內容體現在以下幾個方面：（1）建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型），（2）建立幾何模型（或函數圖象）解決有關方程和函數的問題。（3）與函數有關的代數、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。采用數形結合思想解決問題的關鍵是找準數與形的契合點。如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。
數形結合的思想方法，不象一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。
教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數形結合思想的的主動應用。
滲透數形結合的思想，養成用數形結合分析問題的意識，每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的坐位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數學數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數與數軸，一對有序實數與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系等，都是滲透數形結合思想的很好機會。
如：直線是由無數個點組成的集合，實數包括正實數、零、負實數也有無數個，因為它們的這個共性所以用直線上無數個點來表示實數，這時就把一條直線規定了原點、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數軸。建立了數與直線上的點的結合。即：數軸上的每個點都表示一個實數，每個實數都能在數軸上找到表示它的點，建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，由此讓學生理解了相反數、絕對值的幾何意義。建立數軸后及時引導學生利用數軸來進行有理數的比較大小，學生通過觀察、分析、歸納總結得出結論：通常規定右邊為正方向時，在數軸上的兩個數，右邊的總大于左邊的，正數大于零，零大于負數。讓學生理解數形結合思想在解決問題中的應用。為下面進一步學習數形結合思想奠定基礎。
結合探索規律和生活中的實際問題，反復滲透，強化數學中的數形結合思想，使學生逐步形成數學學習中的數形結合的意識。并能在應用數形結合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數還是知數確定形，在探索規律的過程中應該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結出一般性的結論。
學習數形結合思想，增強解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力在教學中滲透數形結合思想時，應讓學生了解，所謂數形結合就是找準數與形的契合點，根據對象的屬性，將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，就成為解決問題的關鍵所在。
數形結合的結合思想主要體現在以下幾種：
（1）用方程、不等式或函數解決有關幾何量的問題；
（2）用幾何圖形或函數圖象解決有關方程或函數的問題；
（3）解決一些與函數有關的代數、幾何綜合性問題；
（4）以圖象形式呈現信息的應用性問題。
關鍵詞：新課程 思想方法 數學教學 精髓
隨著新課程的實施，新的教學理念在教學實踐中得以體現，師生的角色隨之發生了變化，教學方式和學習方式也在不斷地變化著，“合作交流”的學習方式已成為數學課堂學習的主旋律，數學課堂逐漸活起來了。但無論教學方式和學習方式怎樣變。數學思想方法教學始終應是數學教學的核心。因為數學思想方法是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓。《數學課程標準》在總體目標中提出：通過義務教育階段的數學學習。使學生能夠“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識(包括數學事實、數學活動經驗)以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”在數學教學中，教師有計劃、有意識、有步驟地滲透一些數學思想方法，是體現義務教育性質。落實課程目標，提高學生數學素養的重要舉措。那么怎樣在教學實踐中加強數學思想方法的教學呢?
一、更新觀念，提高認識是前提
數學知識本身固然重要，但它并不是唯一的決定因素，真正對學生以后的學習、生活和工作長期起作用的，并使其終身受益的還是數學思想方法。未來社會將需要大量具有較強數學意識和數學素質的人才。2l世紀國際數學教育的根本目標就是“問題解決”。因此，向學生滲透―些基本的數學思想方法是未來社會的需求和國際數學教育發展的必然結果。
數學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強學生數學觀念，形成良好思維素質的關鍵。如果將學生的數學素質看作―個坐標系。那么數學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸的內容。淡化或忽視數學思想方法的教學。不僅不利于學生縱橫兩個維度上把握數學學科的基本結構，也必將影響其能力的發展和數學素質的提高。因此，向學生滲透一些數學思想方法，是數學課標的基本要求，是數學課改的新視角，是進行素質教育的突破口，是數學教學的核心。
數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是“有形”的。而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，是“無形”的，并且分散于各冊教材的各章節中。教師講不講。講多講少，隨意性較大，有的教師常常因教學時間緊將它作為“軟任務”擠掉，對于學生的要求是能領會多少算多少；也有的教師在教學過程中不相信學生，往往越俎代庖，一講到底，沒有給學生思考的時間。因此，作為數學教師首先要更新觀念。從思想上不斷提高對滲透數學思想方法重要性的認識。把掌握數學思想方法納入教學目標，把教學數學思想方法融入全教學過程之中。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法的各種因素，對于每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透。滲透哪些數學思想方法，怎么滲透，滲透到什么程度，應有―個總體設計，提出不同階段的具體教學目標。第三，在教學環節的設計與實施中，要以知識學習為“明線”，以數學思想方法的教育為“暗線”，且這兩條線始終貫穿于整個教學過程之中。
二、尋找載體，重視過程重點
數學思想方法的滲透是以數學知識為載體，在學生學習過程中悄悄地得以完成的。離開基礎知識的教學，數學思想方法滲透就會變成無源之水。縱觀數學教材。能夠滲透數學思想方法的因素是非常廣泛的。以函數思想為例，小學數學從一年級開始，就通過填數圖、韋恩圖等形式，將函數思想滲透在許多例題與習題之中；在統計圖表學習中，用圖表將函數思想的核心即對應關系直觀化和具體化；在初中教材中出現的幾何圖形的面積公式和體積公式，實際上就是用解析法來表示變量之間的函數關系，等等。
數學思想方法的獲得依賴于對數學知識學習過程的分析、提煉和概括。重視數學思想方法教學必須重視數學活動過程的教學。只有重視概念的形成過程、法則的提出過程、定律的歸納過程和公式、性質的推導過程，以及解題思路的分析探索過程、解題方法與解題策略的總結過程。才能使學生從中體驗到數學知識得以產生的基礎。以及數學知識蘊涵的數學思想方法。
新課程有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現出來。教師要認真研究、分析教材意圖，在教學中以數學知識為載體。著力引導學生對知識形成過程的理解，經歷數學知識的發現與生成的動態過程，讓學生逐步領會蘊含其中的數學思想方法。教師要站在數學思想方法的高度，對其教學內容，用恰當的語言進行深入淺出的分析，把隱藏在具體知識內容背后的思想方法挖掘出來，使之成為學生可以理解的，也是可以學到手的。
如“三角形面積公式”的教學，應讓學生通過用兩個完全一樣的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形動手拼擺、觀察、討論等一系列活動，讓學生從中體會到如何運用轉化的數學思想方法來獲取新知。
三、掌握方法，把握時機是關鍵
為了更好地在數學教學中滲透數學思想方法的教學，教師不僅要對教材認真研究，潛心挖掘，而且還要思考滲透的手段和方法。所用的手段和方法必須順應學生的認知特點，能夠實現預期的目標。數學思想方法滲透一般常用直觀法、問題法、反復法和剖析法四種。所謂直觀法就是以圖表的形式將數學思想反復直觀化、形象化。直觀法的特點是能夠將高度抽象的數學思想反復變成學生容易感知的具體材料，特別是生動有趣的圖畫能給學生留下鮮明的印象，喚起學生對數學學習的興趣。問題法是指學生在教師的啟發下，在探求問題答案的過程中，通過回顧、思考、總結，逐步領悟數學問題的規律性，進而加深對解題方法、技巧的認識。反復法是指通過同一類情景的多次再現，讓學生持續接受某一數學思想反復的熏陶。例如，歸納法的滲透就是通過加法運算律、乘法運算律、除法商不變的性質等內容的學習逐步實現的。剖析法是解剖典型的范例，從方法論的角度用學生能夠理解的數學語言去描述數學現象，解釋數學規律。
四、勤于練習，善于提煉是核心
數學大師華羅庚曾說過：學習數學不做題等于人寶山而空返。因此，在數學教學中，解題是最基本的活動形式。數學習題的解答過程，也是數學思想方法的獲得過程和運用過程。任何一個問題，從提出直到解決，都需要某些具體的數學知識，但更多的是依靠數學思想方法。所以。學生做練習，不僅會對已經掌握的數學知識以及數學思想方法起到鞏固和深化作用，而且還會從中歸納和提煉出“新”的數學思想方法。
數學思想方法的學習過程首先是從模仿開始的。學生按照例題示范的程序與格式解答與例題相同類型、結構的習題，實際上是數學思想方法的機械運用。此時，并不能肯定學生領會了所用的數學思想方法，只有當學生將它用于新的情境、能夠解決其他有關問題時。才能肯定學生對這一數學本質、數學規律有了深刻的認識。
