時間：2023-08-04 16:59:16
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函數，是初中階段中數學教學的重點，也是學生學習的難點。但是，不可否認，作為綜合性極強、探究性極高的知識，函數教學對學生數學思維的激發和培養有著極其重要的作用和意義。故此，對初中數學函數教學所能培養學生數學思維的能力進行重點分析，并深入探究函數教學培養學生具體能力的措施和方法，不僅有利于初中學生學習水平的提升和強化，還有利于我國初中數學教學事業的整體發展和進步。
一、選擇判斷能力及其培養方式
（一）概念
作為數學創造能力的主要構成部分，選擇能力和判斷能力不可或缺。這一能力的表現主要可以從兩個方面進行：一，判斷和確定數學推理的基本過程以及最終結論正誤。二，估計并選擇數學相關的命題、解決思路、事實、以及最佳方案等。從某種程度分析，判斷能力其實就是思維者對自身思維活動的自我反饋能力，而選擇能力則是思維者綜合考慮所有因素后最終做出決定的能力。
（二）培養方式
學生在學習函數相關知識時，必然離不開相應的的數學選擇能力和判斷能力。故此，在具體的函數教學過程中，教師可以利用函數正反面變式對學生進行選擇判斷能力的培養和提升。也就是說，讓學生針對函數正反面變式進行題組和問答的選擇與判斷，在一系列的解答過程和判定過程中，不斷培養學生相應的選擇能力和判斷能力。
二、抽象概括能力及其培養方式
（一）概念
從本質上講，數學范圍內任何的概念、規律、算式或是符號，都可以稱為是抽象概括的結果。所以，想要將學生對事物的感性認知成功轉變成理性認知，就需要培養學生的抽象概括能力。作為智力與能力的核心成分，思維至關重要，但是，概括作為思維最基本的特征，在其自身發展和后續培養過程中有著極其重要的作用和意義。
（二）培養方式
在初中數學的函數教學中，大部分函數知識的教學都可以有效培養并提升學生的抽象概括能力。以“一次函數”的相關知識為例，不僅讓學生學習了正比例函數的概念、性質、特征以及常用表達公式y=kx等，還經過知識擴展和推廣，讓學生理解了一次擴展函數y=kx+b的特征、概念以及性質等。客觀而言，這一系列知識的學習和理解都可以歸納為學生抽象概括能力的培養和提升。另外，教師利用函數例題對學生進行相關能力培養時，也可以將函數知識與實際問題相結合，從而在不斷激發學生學習興趣的基礎上，促使其抽象概括能力得以提升。
例如：一超市正在進行優惠促銷活動，針對茶壺和茶杯的優惠方式有兩種：一，買一送一。二，九折奉送。且兩種方式的優惠前提均需要購買三個以上的茶壺。問：這兩種優惠方式有差別嗎？哪一種更優惠？
針對這一類題，教師就可以積極引導學生進行思維擴展和延伸，可以讓學生自行設定每個茶壺和茶杯的單價以及函數未知數，然后利用兩種優惠方式進行最終價格比對。在此過程中，學生通過單價確定、未知數評估、方式比對等，會形成一定程度的抽象概括能力。經過各種題型的訓練，學生這一能力也會不斷得到加強和提升，最終達到成熟的地步。
三、數學探索能力及其培養方式
（一）概念
數學探索能力，是一種有別于選擇判斷能力以及抽象概括能力的高級數學思維，是在綜合了一定能力的基礎上形成并發展起來的。嚴格意義上講，數學探索能力其實是一個創造性思維的綜合能力。在數學中，探索主要表現在數學問題的提出、數學結論的探求、數學解題途徑和策略的探索以及數學解題規律的尋找等方面，而探索能力則主要表現在設想的提出以及設想轉變的進行等方面。
（二）培養方式
在函數的教學過程中，想要培養學生對數學知識的探索能力，就必須切實做好課題教學的相關工作。讓學生針對討論價值高、挑戰性強、探索性強的研究課題進行課題學習，不僅可以推動和促進學生應用函數相關知識進行實際問題解決和處理，使其對應的意識和能力得到深層次發展和培養，還能最大限度地幫助學生進行函數相關知識的認知、理解和記憶，使其進一步認識和理解函數變量間的關系以及變量變化的客觀規律。
例如：有一長度為20米的欄桿，若一面靠墻，怎樣圍才能圍出一個面積最大的矩形花圃？
對于這類題型的課題研究，教師可以首先要求學生進行“特殊值嘗試”，將其一邊長依次設為1，2，3，4，5，6，7，8，???，則另一邊長可求出，依次為18，16，14，12，10，8，6，4，2，???，如此，其對應面積依次為18，32，42，48，50，48，42，32，18，???。通過觀察可以發現其面積和設定的邊長有著必然的聯系，其變化規律也相當直觀。由此，便可引出一元二次函數方程式：Y=x（20-2x），求出面積最大值為50。
通過這樣的思維培養，相信無論是學生的選擇判斷能力，還是數學探索能力，都能得到一定程度的提升。
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數
關系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）
故函數關系式為：S=x（50-x）。
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0＜x＜50。
即：函數關系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
二、函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：
例2：求函數y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
當x=1時，y =-4
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。
其實以上結論只是對二次函數y=ax +bx+c（a＞0）在R上適用，而在指定的定義域區間［p，q］上，它的最值應分如下情況：
（1）當- ＜p時，y=f（x）在［p，q］上單調遞增函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）當- ＞q時，y=f（x）在［p，q］上單調遞減函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）當p≤- ≤q時，y=f（x）在［p，q］上最值情況是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
-2≤1≤5
f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
函數y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。
三、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例3：求函數y=4x-5+ 的值域。
錯解：令t= ，則2x=t +3，
y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函數值域是［ ，+∞）。
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，y =1。
故所求的函數值域是［1，+∞）。
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。
四、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。
五、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點呈中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。
綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。
參考文獻：
［1］王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田萬海主編.數學教育學.浙江：浙江教育出版社，1993.
【關鍵詞】初中數學；教學活動；思維含量；問題意識；方法
學生問題意識的開發與培養，對于學生的個人發展來講有著重要的作用，更有利于學生主體地位在課堂中的體現。初中學生具有了問題意識，在課堂上就會更加積極主動地提出問題，對未知的數學知識有著無限的求知欲望，促進學生自主學習能力以及探究能力的形成。學生的數學思維量提高，問題意識形成，是學生進行數學探究與尋找數學規律的基礎。學生不斷提高，思維不斷運動，思維量的提高與問題意識的形成是相互影響的兩部分。筆者選擇初中數學教學中培養學生問題意識，提高學生思維量的方法作為研究對象是有一定教育意義的。
一、提高學生學習興趣，促進學生提問
學生的學習興趣對于初中學生的課堂表現活躍度有著重要的影響。學生喜愛數學學科學習，就會將更多的精力投入于數學學習中，配合教師進行教學任務的開展。而學生厭惡數學學科學習，則不會與教師進行思想與言語上的任何互動，認為課堂教學與其個人的關系不大。所以，加強學生學習興趣的提高，是對學生問題意識進行培養，促進學生數學思維含量提高的重要方法。興趣的存在，會使初中學生的求知欲望大大提高，自主進行初中數學知識的探索與發展。在課堂教學中，教師需要利用多樣化的教學方法，打破傳統教學模式的限制，為學生學習興趣的提高而做出努力。教師可以將數學教學與其它學科的知識進行聯系，利用社會熱點問題來引出數學知識。也可以利用多媒體為學生進行知識傳遞方法的改革，促進教學內容的趣味化以及教學方法的活潑化。
比如在講解《有理數的加法與減法》的時候，教師就可以利用當前熱點的社會新聞為學生進行題目的設置。教師可以利用某市公交車自燃問題的引入，向學生闡述車內共有多少人，受傷多少人，死亡多少人，讓學生計算沒有傷亡的人員數量。這樣的課堂引入與鋪墊，會使初中學生的數學思維得以擴展，更有利于激發學生的提問意識。一些學生會就公交車自燃的原因進行提問，一些學生會對車上的兒童數量進行提問，也有學生會對數學計算問題進行的提問。由此可見，當學生的學習興趣得以提高的時候，學生的提問積極性大大提高，有利于初中學生數學思維量的提升。
二、打造平等師生關系，促進學生提問
在過去的初中數學教學活動中，學生會習慣于聽取教師的講解，只要是教師說的，對的是對的，錯的也是對的。這樣的教學活動中，學生將教師視為不可侵犯的神圣，不敢進行課堂提問。學生具有疑問，而不提問，使教師沒有給學生機會，沒有給學生勇氣。當代的初中數學教師需要對自己的教學思想進行更新，不能只顧著自己的權威，而抹殺了學生的學習權利。課堂上只存在教師一個人的聲音，是對學生學習主體地位的極大不尊重。教師需要與學生建立起平等的師生關系，在課堂上給學生發言的機會，讓學生的聲音充滿數學課堂，使學生覺得有東西可以問。初中學生的數學問題意識的培養，需要習慣的養成以及成效的出現。一個良好的教學氛圍，有利于師生關系的平等，也有利于初中學生質疑能力與提問能力的提高。無論學生提出多么幼稚的問題，教師都不可以取笑學生，要尊重學生提出的問題，鼓勵學生再次提出問題。
比如在講解數軸的相關知識的時候，一些學生會提出這樣的問題“老師，為什么要用數軸表示數呢？”。面對學生的問題，教師要有耐心，歡迎與肯定學生的提問，為學生進行科學的講解。不能說“這就是一種數的表示方法”這樣的話來搪塞學生的提問。教師可以引導學生就自己的提問發表一些看法，讓學生的思維運動起來。之后，利用大家的力量對學生的問題進行解決，在課堂中加強師生互動的頻率，共同解決問題。這樣平等的師生關系以及活躍的學習氛圍有利于學生問題意識的培養，促進學生敢于提問。
三、構建數學激勵平臺，促進學生提問
讓學生樂于提問，是對學生問題意識培養的一個重要環節。當學生做到自主提問與樂于提問的時候，教師對學生問題意識的培養目標也就達成了。在過去的初中數學教學中，教學模式一直局限在教師講與學生聽的模式中，單調學習方法大大扼殺了初中學生的提問積極性，也使初中學生逐漸喪失了自主學習的能力與方法。學生成為學習活動中的被動者，配合教師完成教學任務。受到傳統教育思想的影響，許多教師認為在課堂上表現老實的學生就是好學生，這也是造成學生沉默的重要原因。教師要轉變教學思想，認識到學生活躍對于課堂效率提高的重要作用。教師要制定合理的激勵平臺，讓學生認識到提問對于自己具有好處，在課堂上積極進行提問。
比如教師可以將學生的課堂提問表現進行記錄，在考試成績中進行相應的加分。一次提問計為0.5分，最后計入到下一次的整體檢測與考核中。這樣的激勵平臺建立，會使學生找到提問的目標與提問的意義，更加積極的提高，保持思維在數學課堂上的運動。
綜上所述，初中學生具有較為活潑的性格，他們也渴望在數學課堂教學活動中獲得自由。提升學生的數學思維含量，培養初中學生的問題意識，是當前初中數學教師肯定學生地位，給予學生自由的重要思想與方法。筆者從初中數學教學內容出發，提出了三點促進學生提問，培養學生數學思維的方法。希望初中數學教師積極利用有效策略，對初中學生數學思維含量進行提高，培養學生問題意識。
【參考文獻】
關鍵詞：知識水平；思維；假設性結論
一、0“假設”與橫向思維
思維的創造性是思維能力培養的關鍵。創造性，主要是指不墨守成規，要奇異、求變，對事物保持應有的好奇心，在課堂聽講和學習中，注意發現問題、提出問題，并且能創造性地解決問題。教師根據學生已有的知識水平和思維層次，由淺入深，有意識地制造矛盾沖突，啟發他們從無疑中生疑，發展求異思維。
任意角的三角函數定義是本節課的重點和難點。按照課本安排先通過銳角三角函數的定義利用坐標推導任意角三角函數定義，然后借助單位圓下定義。在這個時候，如果直接切入“你能結合銳角三角函數定義在單位圓中用坐標表示正弦、余弦和正切嗎？”這樣的單刀直入，學生的學習興趣就會大打折扣，并且任意角的三角函數與銳角三角函數之間并沒有一般與特殊的關系，提出這樣一個看似很有啟發性的問題，學生只能通過“預習”來解決，最后很有可能就演變成教師的自說自話，學生著著實實就成了一個聽眾。
在這個時候，教師完全可以推出一個淺顯的假設：如果正弦、余弦和正切能用坐標表示，你認為應用哪些點的坐標來表示？
并聯系現實生活進行誘導：畫出一個角，看哪些點與角有密切關系（預設學生回答：終邊上的點）。
探索性誘導：觀察P點位置，當點在哪時三角函數值既簡單又方便？
經過上面三層設問很自然地引進單位圓，并輕松地解決本節的重點及難點，在思維的不斷轉化中體現課堂的高效。
從上可以看出，假設性提問并不是異想天開，而應根據一定的常識，圍繞提出的問題可能出現的結果而展開的。而在思維的過程中，可以從兩個方面入手：求同和求異。求同，即引導學生關注現象的共同點（過P始終可做三角形POM），從不同的現象中尋求所包含的共同本質和規律。求異，即引導學生關注現象之間的差別。求異思維給學生帶來的思維空間遠遠超過求同思維（點P位置不同三個值的簡單性和方便度就不同），它有利于思維翅膀更好地飛翔。
二、0“假設”與縱向思維
思維的深刻性主要是指能深刻理解概念，能周密地分析問題，并且善于抓住事物的本質和規律。所以，我們要鼓勵學生，一是鼓勵學生追根究底，凡事都要去問為什么，堅決擯棄死記硬背，不但要“知其然”，更要“知其所以然”。本節課的一個假設性結論：PM就是正弦；OM是余弦；AT就是正切。你認為這個假設合理嗎？
這時引導學生進行追問：
（1）角的終邊在哪些位置時假設成立？
（2）是不是一定就不能用這三條線來表示？若能，應做哪些改進？
利用橫向思維和縱向思維的相關特點，引導學生提出“假設性”的問題，同時，利用這些假設性的問題對學生的橫向思維和縱向思維再進行訓練，提高思維的創造性和深刻性，這是通過數學課堂教學訓練學生思維能力的方式，也是目標。和諧課既是一種教學理念，也是一種理想追求，數學課堂。只有真正開出“思維之花”，才能結出“和諧高效”之果，讓我們拭目以待。
參考文獻：
關鍵詞：言語；情感；數學語言；思維素質
中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002—7661（2012）20—265—02
言語是個體借助語言材料傳遞信息，交流思想，表達自己的情感，和影響別人的過程。言語不能離開語言材料、語法結構而獨立存在。數學言語離不開數學語言。數學語言比較枯燥乏味，所以，培養數學語言比培養語文語言要難得多。
長期以來，人們總認為發展語言能力，是語文學科的任務，其實不然。掌握言語，也是學習數學學科的必要手段，因此，在兒童入學以后，也要在數學教學中培養小學生的言語能力，才能提高學生數學方面的思維素質，很多兒童在數學學習上落后，尤其是低年級，常常是和數學方面的言語掌握得不好有很大的關系。
人的思維和言語是緊密聯系在一起的，數學言語的發展，能提高數學概括水平，數學的概念，定理，公式，法則都是抽象的，是概括出來的，思維具有概括性，所以，提高了言語的發展水平，將會提高概括水平，也就提高了思維素質。
為什么要訓練小學生數學方面的語言能力，這可以從下面的幾個方面來概括說明。
1、開發大腦功能，提高智力水平 現代科學研究揭示，大腦左右半球各有分工：右半球具有形象，靈活，綜合等形象思維的優勢；左半球具有語言、計算邏輯、分析思維的優勢。小學生必須在掌握了一定的數學語言規律后才能獨立思考數學問題。
2、訓練數學言語，有利于分析解題思路 很多學生能解題，但說不出其中的道理，或者說不準其中的理由，這不利于學生之間的情感交流，這是學生的數學言語未能得到發展的原因，而說不出或說不準道理，又會阻礙對數學的學習。
3、要提高解題能力，就要提高理解能力 數學離不開解題。理解能力強的學生，一般來說，成績較好，相反，理解能力差的學生，能力較差。
4、訓練數學言語，有助于學生總結學習經驗 探索學習規律；有助于學生為將來寫論文打下良好的基礎，有助于老師得到學生準確的信息反饋，培養學生創造性思維，分析解題思路，只有把教學方法與學習方法有機地結合起來，才能大面積地提高教學質量。
5、小學一年級學生理解數學言語特別重要 小學一年級的數學，本來是很簡單的，但他們也不是人人都能學好，一個極大的原因就是他們未能理解言語。
言語分為口頭言語、書面言語和內部言語。
如何訓練學生的數學言語，下面試談我的看法。
一、訓練學生的口頭言語，主要從聽和說兩方面來加以論證
1、訓練學生的口頭言語 對老師本身來說，要盡量為學生營造良好的言語環境 老師的語言，應該是規范的，不能采用生僻的詞語，老師在備課中，要備語言，怎樣提問，怎樣啟發，都要寫在教案本上。
2、小學生學習數學語言，應從模仿開始 剛入學的兒童老師要把數學語言說給學生聽，再用本地話來解釋。如：羅馬人的“計算”一詞與“石塊”是同一個詞，因為當時人們的計算是離不開石塊的；有些民族的“計算”一詞與“手指”是同一個詞。因為人們常常用手指來幫助計算。又如：“一共”在本地是怎樣解釋的，先讓學生與本地的某個意思對號入座，不然，不是講普通話方言的學生就無法理解“一共”的含義。老師講了某個數學名詞術語后，再讓學生復述這個名詞術語及其意義，讓學生模仿老師的語言。
3、老師操作教具作示范，讓學生口述操作過程，這有利于培養學生認真看和口述事物發展的順序，有利于明確算理 教學一年級學生讀題，同教學語文一樣，讓學生跟老師讀，讀了以后，再讓學生自己讀，隨著年齡的增長，要求學生自己多讀數學課本，不要認為只有語文才要讀，對概念，定理，法則要多讀，甚至背熟，對簡單的應用題，由老師經常念題，學生聽，聽后就做出來，這也有利于培養學生專心致志地聽的習慣。
4、比較難理解的句子，要讓他們多讀句子的解釋 如：“甲數比乙數多20%”，這樣的句子，大多數學生都說不清楚它的含義，老師給他們解釋后，要讓他們多讀，以便舉一反三，它的含義是：“甲數比乙數多的數量是乙數的20%”。
5、說出每步算式的意義 把一道多步運算的應用題，先分步列出算式，再讓學生說一說每一步運算的含義。如：李樹有4棵，桃樹比李樹多2棵，一共有幾棵樹？第一步：4+2=6（棵）；第二步：4+6=10（棵）。問學生：每步的含義是什么？然后針對某一個算式，讓他們口頭編應用題。
【關鍵詞】小學數學教學 簡單應用題 應用題教學
應用題是小學數學教學的重要內容。解答應用題能使學生把認數和計算中所掌握的基礎知識以及基本數量關系運用于實際，加深對四則運算意義的理解，既培養學生分析問題，解答問題的能力，發展學生的邏輯思維能力，又可以使他們受到思想品德教育。簡單應用題是復合應用題的基礎，它在低年級數學教材中占有非常重要的地位。筆者現就簡單應用題的教學談幾點意見。
一、把握重點，建立聯系
簡單應用題中的數量關系可以歸結為和、差、積、商4種，大體可以分為4組。
第一組是與加、減法含義有直接聯系的求和與求剩余的應用題，重點是引導學生理解題意，掌握簡單應用題的結構，明確題目中的數量關系，聯系加，減法含義確定算法。而對于它們的變型題，如求一個加數、求被減數、減數的題目，教學中應在溝通其與求和、求剩余應用題的聯系上下功夫，使學生正確掌握思考方法和解答方法。
第二組是反映兩個數與它們的相差數之間的關系，需要間接運用加、減法含義進行思考的應用題。對于求一個數比另一個數多幾、求比一個數多幾的數的應用題來說，教學中應該以幫助學生建立相差數的正確概念、分析已知數量和未知數量的關系為重點，使學生對誰和誰比，誰多誰少，較大數能分成哪兩部分有一個清晰的認識，從而與加、減法含義建立聯系，確定算法。而對求一個數比另一個數少幾、求比一個數少幾的數的應用題，以及反敘的求比一個數多(少)幾的數的應用題來說，重點是引導學生運用轉換思想，溝通新、舊知識間的聯系，培養學生的遷移能力。
第三組是與乘除法含義有直接聯系的三種應用題，即求幾個相同加數的和、把一個數平均分成幾份求一份是多少、求一個數里含有幾個另一個數的應用題，重點是引導學生在明確題意的基礎上聯系乘、除法含義進行思考。
第四組是反映兩個數與它們的倍數之間的關系，需要間接運用乘、除法含義進行思考的兩數倍數關系的應用題，教學中應以正確建立“倍”的概念，溝通其與乘、除法含義的聯系為重點。
二、適當滲透，早期孕伏
對一年級小學生來說，應用題的啟蒙教學是指在數學教學中對應用題進行適當滲透，早期孕伏。其任務是實現看圖說話和看圖計算，圖畫表示的應用題有圖有文字的應用題，文字應用題的過渡，并逐步使學生了解應用題的結構，懂得應用題中條件和問題間的關系，掌握思考方法和解答步驟。一般可分為三個階段。
一是孕伏階段，即看圖說話和看圖計算。在這個階段，教師要善于誘導，循序漸進，有意識地提前起步。一般可從“準備課”起就訓練說一句完整的話，而后，再逐步訓練學生說兩句話、三句話。在此基礎上，可結合具體題目引導學生試著將第三句話改說成疑問句，逐步熟悉題目中的數量關系。
二是準備階段，即教學圖畫表示的應用題。在這個階段，可采取如下步驟訓練：（1）理解題意并了解題目中告訴了什么、求什么，初步孕伏應用題的結構；（2）引導學生根據加、減法含義確定算法；（3）列式計算。
三是過渡階段，即教學有圖有文字的應用題。要引導學生懂得“條件”和“問題”等術語，
進一步了解應用題的結構，并能根據條件和問題間的關系，聯系加、減法含義確定算法，從而為文字應用題的學習打好基礎。
三、觀察實驗，激發興趣
低年級小學生的心理特點是好動、好奇，其思維還帶有學前兒童的特點，往往離不開具體的形象。因而，借助于觀察實驗進行教學既有利于激發學生的學習興趣，又可以使學生在大量的感性材料中汲取知識，
1.重視操作活動，讓學生主動參與學習過程
在教學中，我們可充分利用“準備題”及有關例題，讓學生想、擺、說，參與知識形成過程。
2.加強語言表述，發展抽象思維
人們是借助語言來思維的，我們要求的語言表述，主要是指不僅要使學生將操作過程表述出來，而且還要表述出自己的思維活動，將外部動作內化為自身的智力活動，這就需要一個較長期的過程，必須及早培養訓練。如前面提到的培養學生說一句乃至三句話的能力，培養學生將第三句話改說成疑問句等就是如此。在操作活動中，教師應該在培養學生表述能力上下功夫。
四、強化整體，理清思路
前面談到，簡單應用題從數量關系來說大體可以分為4組，同一組應用題之間有著密切的聯系。例如，第二冊的相差關系應用題包括3種情況，其數量關系是相同的，只不過是已知和未知發生了變化。如果弄不清這一點，就會產生干擾，以至于數量關系混淆不清，分析時無從下手?？梢?，弄清這類應用題的異同，對于正確分析數量關系是至關重要的。
五、注重訓練，培養能力
學生解題能力的提高，絕不是一朝一夕的事情，這需要有一個過程，為此，教師可采取不同的形式進行訓練。除了一般性的常規形式外，還可采用如下方式：
1.填條件提問題的練習；
2.一題多變的練習，如改變其中的一個條件或問題等；
3.用簡縮的數學語言進行表述，如求有多少朵紅花就是求比5多3的數是多少；
4.對比練習；
5.判斷性練習；
6.編題練習等。
有些學生的解題困難是由于沒有恰當的解題策略所致，這就要求教師要善于研究、善于歸納針對不同題型的解題策略，并對學生進行恰到好處地引導、點撥。
關鍵詞：公式； 公式教學； 引入； 推導； 字母； 逆用，變形； 整合； 活用
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）07-039-001
數學公式是初中數學學習的重要內容，它反映了數學對象的屬性之間的關系，它具有符號化的抽象性和概括性，揭示了數學知識的基本規律，是衡量學生數學認知水平的重要載體。下面就結合自己的教學實踐，談談在公式教學中學生思維品質的培養。
一、重視公式的引入和推導，培養學生思維的積極性和批判性
《課程標準》指出，數學課程不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。對于數學公式，不能單一的直接拋給學生，更應重視公式的形成過程，同時在推導過程中滲透數學的思想方法，幫助學生掌握公式的結構特征，培養學生思維的積極性和批判性。
1.什么結構的二項式的乘積結果是只有兩項的，這兩項與前面二項式的項有何關系？
2.學生自己設計幾個兩個二項式的乘積，使運算的結果只有兩項，并驗算其準確性。
二、重視理解公式中字母的含義，培養學生思維的深刻性和整體性
一個公式導出后，學生對公式一般有了初步的認識，有的學生的求知欲也已經得到了滿足，但他們往往對公式中字母所表示的含義理解得不夠透徹。
因此在教學中，教師要引導學生探尋公式中字母的含義，使學生深刻理解公式中字母的內涵和外延。
三、重視公式的逆用和變形，培養學生思維的發散性和辯證性
美國著名的行為主義心理學家和教育學家斯金納認為，在學習新知識后要及時地給予強化。為了全面發展學生的綜合思維能力，在公式教學中必須加強公式的逆用、變形等各方面的練習，才能達到強化所學知識的目的。
教師要引導學生善于總結練習中公式呈現的不同形態和使用方法，這樣才能在數學問題的推演過程中，根據隨時出現的結構特征、表示形式、數量關系的信息，及時聯想到有關公式及其變形，培養了學生思維的發散性和辯證性。
四、重視公式的整合和活用，培養學生思維的廣闊性和深度性
整個解題的關鍵在于熟悉平方差公式的結構特征，結合已知條件，聯想到奇偶性知識，創造了使用平方差的條件，有一定的技巧性和難度，從而培養了學生思維的深度性。
總之，數學公式的教學過程既是探索、推導、運用數學公式的過程，又是培養學生思維，提高學生數學品質的過程。只有讓學生真正理解公式，掌握公式的來龍去脈，結構特征，靈活運用公式，才能使學生形成積極、廣闊、發散、深刻等寶貴的思維品質。
參考文獻：
[1]中華人民共和國制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M]北京：北京師范大學出版社，2001
[2]朱哲.數學公式的教學應關注公式的來龍去脈[J]中學數學 ，2011（6）
“數學在本質上研究抽象的東西，數學發展以來的最重要的基本思想也就是抽象”。這說明數學抽象性是數學的本質特征之一。而符號、公式以及必要的形式化的處理等成為數學內容組織呈現的基本方式，也是數學課程內容不同于其他學科課程內容的特點所在，這就決定了數學教育應把發展學生的抽象思維能力作為其目標。七年級絕對值概念是集幾何直觀、圖形符號、字母符號數字符號、和特定符號于一體的數學內容，具有非常典型的抽象性，學習絕對值，可以幫助學生體會用字母表示數的意義，而用字母表示數是一種重要的數學思想，七年級學生對數學中的符號語言剛剛接觸，學習時理解很困難。絕對值知識涉及數學學科的分類討論思想，數形結合的思想，這些對七年級學生都是重點與難點。因此本節內容在初中數學中乃至于今后的數學學習中占有重要的地位。研究這一部分知識的呈現方式、概念的生成、結構的形成，對于教師教育教學方法的運用，教學環節的設計工作起著決定性的作用。
北師大版的教材和人教版教材是全國范圍內使用較為廣泛的兩個版本，將這兩個具有代表性的版本進行比較，是希望通過兩者理念、經驗方面的碰撞，達到相互借鑒、取長補短的目的，為教師教學資源的選擇以及教學設計工作提供參考和建議。
一、兩版本教材比較
（一）相同點
1.內容安排位置大致相同
《絕對值》是在引入有理數和數軸以及相反數等基本概念后又一探究、學習的重要內容，一方面，數軸的概念、畫法、利用數軸比較數的大小及相反數的概念為本節內容奠定了基礎；而另一方面，在有理數運算以及后面根式內容中，都是以絕對值的知識為基礎的，因此絕對值的知識起著承上啟下的作用，是對數的擴充后相關概念的完備與補充為后續的研究提供條件。兩個版本均將這部分內容置于絕對值都安排在相反數和加減法之間。
2.兩版本教科書呈現“絕對值及其含義”的路徑基本一致
北師大版呈現“絕對值及其含義 ”的路徑：
生活中的距離問題文字語言描述絕對值定義絕對值的符號語言用文字語言表述絕對值的代數含義。
人教A版呈現“函數及其含義”的路徑：
卡通形象的距離問題借助字母描述絕對值定義絕對值的符號語言用文字語言歸納絕對值的代數含義絕對值代數含義的符號語言。
3.情境引入問題的設計理念大致相同
北師大版與人教版都是借助從實際生活情境中行駛問題抽象出的數軸關注點與點的距離這一核心概念。這樣的處理體現出這兩個版本的編者運用直觀手段本身來進行數學研究的理念。
（二）兩版本的不同點
1.絕對值的定義表述不同
北師大版中的絕對值定義：“在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值”；人教版中的絕對值定義：“一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值”。北師大版對絕對值定義的表述簡潔、直接，而人教版的定義表述借助字母a這一符號化的表示來定義絕對值，定義中有明確的對象，并且是這一字母具有實際的取值范圍，便于師生、生生的表達，交流。
2.絕對值的符號化表示的過程、舉例不同
北師版中：“＋2的絕對值等于2，記作＋2=2，－3的絕對值等于3，記作－3=3”，直接將絕對值的文字語言轉化為符號語言，―正、一負兩個數的絕對值，應用絕對值的幾何含義求出例題中各數的絕對值，并考慮“一個數的絕對值與這個數有什么關系”，由此歸納出絕對值的分類情況。人教版利用絕對值的定義直接將數a的絕對值符號化，并且繼續列舉如下：“A、B兩點分別表示10和－10，它們與原點的距離都是10個單位長度，所以10和－10的絕對值都是10，即10=10，－10=10。顯然0=0”?！皵祵W知識的形成依賴于直觀”，[6]運用絕對值的較為直觀的幾何含義分別求出這三個數的絕對值，在此基礎上直接將文字語言符號化，經歷了兩次抽象的過程，第一次運用絕對值的幾何含義得到各數的絕對值并用文字語言表述，第二次將絕對值的文字語言符號化表示出來。這樣的過程增加了概念中的直觀性與抽象性直接的聯系與轉化，“就數學而言，直觀與抽象不是對立的，它們從來都是它的雙翼”，突出了概念的雙向性，加深了學生對于絕對值概念的理解和掌握。符合“通過數形結合的方法實現抽象與具體之間的轉化”的原則。七年級學生對數學中的符號語言剛剛接觸，學習時理解很困難，建議北師版教材設計時，突出概念的幾何含義，在學生的深刻理解絕對值的幾何含義后，再利用概念的幾何含義求數的絕對值。
3.絕對值的代數含義探索及歸納過程不同
北師大以一正一負兩個數為例，在此基礎上提出思考“互為相反數的兩個數的絕對值有什么關系？”，用具有較為一般性的例子，再指向具有特殊性的兩個互為相反數的絕對值的代數含義的探究，接著以求兩負一正，及0等四個數的絕對值，在經歷了一個思考一道例題的探求過程后，提出“一個數的絕對值與這個數有什么關系？”的討論，歸納出絕對值的代數含義。人教版在經歷一對相反數＋10、－10的絕對值的表示及結果后，直接歸納出絕對值的代數含義，此過程沒有太多的過程與練習，寥寥數語就得出絕對值的代數含義，整個過程簡短，學生對數學知識的掌握也要經歷量變到質變的過程，建議教學時解決練習1后再歸納絕對值的代數含義。
4.絕對值的代數含義表述不同
關鍵詞：應用題；數學；理解能力
有的教師會問，數學和語文是兩門截然不同的學科，學生解答應用題的能力與他們的語文能力又有什么聯系呢？其實不然，學生解答應用題的能力與語文能力關系非常密切，許多學生解答應用題的能力差是因為他們的語文能力差，準確地說是他們對應用題文字敘述的理解力差，通俗地說就是讀不懂題。讀完應用題學生根本不知道各個數量的確切含義，或者對題目中關鍵句子的含義把握不準。例如，實際與計劃比較應用題。裝一批書，每小時裝訂180本，10小時可完成。實際每小時比計劃多裝訂20本，實際幾小時可裝訂完？有的學生把實際每小時的裝訂量列為：180×10+20，而不是180+20。究其原因就是對關鍵的一句話理解不夠，“實際每小時比計劃多裝訂20本”是實際每小時比計劃每小時多裝訂20本，而不是實際每小時比計劃總的工作量多20本。針對這一現象，我在應用題的教學中注重對學生文字敘述理解力的訓練，讓學生準確把握整個題目的確切含義，特別注重引導學生分析關鍵詞語或重點句子的意義。例如，食堂有3.36噸煤，計劃16天燒完。由于改進技術，每天節約0.03噸，這些煤可燒多少天？引導學生重點理解“每天節約0.03噸”這一句話，讓學生重點討論這句話，理解這句話的確切含義。經過討論交流，學生明白每天節約不是在3.36噸上的節約，而是在計劃每天燒煤數量上的節約。進而得到實際每天的燒煤量“3.36÷16-0.03”。
應用題最難、最復雜的莫過于數量關系的分析，數量關系分析得清晰、準確，列式表示便是自然而然的事情了。不能限制學生的思維，要根據他們自己的思維特點講出自己對問題的理解。學生列出算式后，我都要求學生把每一步的想法和依據介紹給大家，力爭讓所有的學生都能聽得懂。數學課上，學生思維敏捷，爭先恐后，大膽發言，課堂氣氛活躍，不僅提高了課堂教學效率，而且進一步培養了學生的語言表達能力，發展了學生的思維，拓展了他們的知識面。
