時間：2023-03-21 17:15:17
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在中學數學的教學中，對“數形結合”、“由形到數”，解題時可以觀察圖形的特征以及數量關系。“數”“形”“數形結合”思想不僅對于學生掌握知識變得統一，更是一種思維的訓練與提高的過程。函數的單調性解決不等式、函數與數列、函數的思想對于解決方程根的分布問題。函數與解析幾何等等都會應用到。但是傳統的教學中，重視表層知識的學習的現象弊端太多，數學學科是一種抽象思維的學習學科，不同于語言思維，過于感性化，不夠嚴謹與理性，而數學思維是抽象性、理性嚴謹的知識體系學科，如果不注重思維學習的方法，是不能達成教學效果和目標的實現的，不利于對于數學學科的學習,難以提高。
2.“數形結合思想”在實際生活中的應用
將實際問題轉化，運用數形結合的思想去解決。“數形結合”思想可以幫助理解抽象的問題，會在實際生活中有很大的應用。“數形結合”的思想不僅在教學中有用，利用數形結合的思想來解決現實生活中的問題有很大的幫助。例如：對于在實際生活的中，需要地域500元購入60元的單片軟件3片，需要購入70元的磁帶2個，額選購方式有幾種？其實這樣的題目就是對于數形結合思想、排列以及數學中不等式的解法的考查，那么只要設需要軟件x片，需要磁帶y盒，然后列出不等式，相反，如果用列舉法一一列出，是可以解決的，但是過程就會變得麻煩。因此，掌握數形結合思想對實際問題的解決作用是很大的。
3.“數形結合思想”在幾何當中的應用
中學數學中對于“數形結合”思想對于直線、四方形、圓以及圓錐曲線在直角坐標系中的特點，都可以在圖形中尋找解題思路。不論是找對應的圖像，以及求四邊形面積等的幾何問題都有很大的應用。例如：已知正方形ABCD的面積是30平方厘米，E，F是邊AB，BC上的兩點，AF，CE并且相交與G點，并且三角形ABC的面積是5平方厘米，三角形BCE的面積是14平方厘米，要求的是四邊形BEGF的面積。在求解過程中，結合圖形，連接AC\BG并設立方程可巧妙求解。可見，在具體實際的幾何中的分析與思考，運用到數形結合思想就會將問題變得簡單。
4.結語
創設情境的同時，往往會伴隨設疑的產生，良好的設疑可使學生進入高效思維。例如，講“圓的定義”一節，首先聯系，實際展示藍球、足球的縱斷面，自行車車輪等，讓學生感知“圓”，然后提出疑問：車輪為什么做成圓形不做成別的形狀？你知道車輪曾經有過方形的歷史嗎？又如講三角形全等判定定理“ASA”時這樣引入：“有一塊三角形玻璃，一同學不小心打碎了，碎成兩塊，現在要你去配一塊同樣大小玻璃，怎么辦呢？若帶一塊去可以嗎？應該帶哪塊呢？”等等。創造這樣的教學情境和設疑，從而形成學生的認知沖突，激發求知欲，變“要我學”為“我要學”“我想學”。創設好的情境，提出好的質疑，比解決一個問題更重要，因為解決問題也許是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊的問題，需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。
二、探究小結，聯想創新
馬克思說：“科學教育的任務是教育學生去探索創新。”學生只有通過探究問題，才能發展學生探索精神和創新能力。教學中，教師應在精心設疑的前提下，鼓勵學生從多角度，多方位去探究，可以自主探究，也可以合作探究，讓他們去追求與眾不同，但又合情合理的答案。他們在探究過程會遇到各種各樣的問題，困難，就會產生新的想法，新的見解，從而拓展了他們的學習思路，啟動了學生的聯想思維，培養了他們的創新精神。如在“圓的外心、內心”這一部分，學生通過探究小結，說出了外心的構成：三角形三邊垂直平分線的交點，然后讓學生積極展開聯想，學生就會聯想到幾何中的兩種線：垂直平分線和角平分線，垂直平分線的交點是外心，那角平分線交點會是內心嗎？這樣就培養了他們創造性的發展。還有講四邊形中點連線會構成什么圖形時？讓他們探究說出結論，繼而發散思維，大膽聯想，由封閉式常規性題目經過變式改造，學生會聯想并探索出正方形各邊中點連線是正方形、矩形各邊中點連線是菱形、菱形各邊中點連線是矩形，還可探索出對角線互相垂直的四邊形各邊中點連線是矩形，對角線相等的四邊形各邊中點的連線是菱形，這樣便讓學生對各種四邊形的性質和判定的理解和掌握升華到了一個高度。聯想是思維的翅膀，有效進行聯想訓練，有助于學生保持旺盛的思維生命力，有助于學生克服思維惰性，培養學生各種能力。
三、總體歸納，深入反思
歸納是對學習內容的梳理與概括；反思是完成以上三個環節后，回過頭再進行思考，再對所學知識進行回顧與整合。此環節我們可首先幫助學生梳理知識，弄清楚知識的來龍去脈，以及各知識點之間的相互聯系，使他們所學知識融為一體，然后放開手讓學生在以后學習中學會自己歸納、回顧與反思，要讓學生“在歸納中學習，在學習中歸納”。這樣便能使學生養成一個良好的學習習慣，使他們真正成為學習的主人。培養學生良好的歸納反思習慣，應注意以下幾個方面去著手。
1．歸納、反思所學知識的形成、發展過程。教學知識的形成，一般都是有它的基礎背景的。通過歸納反思、比較，有助于理解清楚數學知識之間的聯系，能夠將知識系統化。
2．歸納反思解題思維過程。①歸納應用到的主要知識；②歸納反思解題思路和方法的探索過程；③回顧解題的關鍵之所在；④歸納回顧用到的數學思想方法。
在教學中，經常會出現“教師‘順利’完成教學任務，但學生仍不會”的現象。因此，我們要改變教師包攬課堂的做法，在組織教學的每個環節時，教師應有意識地體現學生是課堂的主角，多給學生自主探索、合作交流等活動的機會。教師要完成角色轉變，要把自己從信息源與知識的傳授者轉變為輔助學生學習的促進者和引導者，應巧妙地把自己由臺前轉向幕后，把學生推向前臺，把課堂真正還給學生。
二、數學課堂上要善于“讀懂”每個學生，關注每位學生的學習感受
張丹教授曾經說過：“讀懂一個課堂，發現一種走向。讀懂一個學生，走進一個世界。”首先，數學課堂中的教學內容，不僅包括數學定義、定理、法則等現成的知識，還應包括探究這些知識的形成過程。其次，數學能力的提高，不是光靠傳授形成的，而是需要學生在教學活動中，靠學生自己去悟、去做、去經歷、去體驗的。因此，在數學課堂教學中，教師要為學生提供更多的“做”數學的機會，一定要允許學生表露出問題，允許學生表達自己的困難，只有這樣，教師才能真正“讀懂”學生，了解他們內心的真實想法，才能找到問題所在，才能及時加以解決。
三、放開手，學生會走得更好
教師在數學課堂上，要敢于“放”———放開學生的思維、放開學生的行為，要充分地解放學生。例如，在教學二次函數圖像性質時，可以讓學生分組探究，討論交流探究的結果。教師要給學生一個表達的機會，一個自由想象的空間，把課堂真正還給學生，讓學生分組討論交流，主動參與學習活動，真正感受經歷思考、探究的學習過程，在活動過程中充分讓學生經歷知識的生成、發展、變化和拓展，充分展示學生的智慧與才華，張揚個性。在學生的直覺感受和迸發靈感的過程中產生積極的，主動的，沖擊式的學習欲望，改變學生的學習方式。教師在設計、安排和組織教學過程的每一個環節都要有意體現探索的過程和方法，讓學生的思維始終保持高度的活躍性。使學生在數學思維上層層推進，學生出現了很多的閃光點，通過不斷積累數學經驗，激發學生繼續自主探究的熱情，為后面的進一步探究做好鋪墊。在學生分組探求過程中，教師巡視，俯首傾聽，個別輔導，參與小組交流討論，使學生在探索中形成自己的觀點，并且在與他人的討論過程中完善自己的想法，真正體現了新課標所倡導的觀察、討論、交流等有效的數學學習活動是學生學習數學的重要方式。在數學課堂上，放開學生的頭腦，放開學生的手腳，師生間關系融洽，就會讓學生感覺到課堂氣氛輕松，不但教師樂意“教”，學生也樂意“學”，從而使課堂教學的有效性大大提高。教師要放下“高高在上”的架子，要學會“平視”學生，既做關心學生成長的朋友，又做啟迪學生心靈、智慧的雙重引路人。
四、數學課堂教學中要“放”而不亂，“放”之有度
1.羅爾中值定理羅爾定理中，當函數y=（fx）能夠滿足閉區間[a，b]連續；開區間（a，b）可導；（fb）=（fa），至少會存在一點ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0，其具體證明方法：（fx）在閉區間[a，b]連續，若最大值M與最小值m的存在，當M=m的時候，y=（fx）在（a，b）上是常函數，而且f′（x）=0恒成立，若最大值與最小值不能相等，在[a，b]上將存在極值點，將其設為x0，因此可得出f′（x0）=0，至少會有一點ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0。從整個證明過程中不難發現，若函數（fx）在區間內存在導函數，那么區間兩端必存在相等的極限值。2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理中，一般可通過構造函數法、區間套定理將羅爾定理在拉格朗日中值定理中的作用進行證明。若函數（fx）在（a，b）中可導，而且在兩個端點存在左右極限，便會得出這樣的結論。
二、微分中值定理在中學數學中的應用
1.討論方程根的存在性問題
中學數學教學中，除二次方程根的問題較為容易，對其他復雜的方程往往會使學生無從下手，因此可結合微分中值定理進行分析并解決。通過給定閉區間[a,b]上的函數，只需保證區間內連續可導，而且以f(a)=f(b)，便可通過羅爾定理解決方程的判根問題，具體做法為：首先命題條件，再進行輔助函數F(x)的構造，然后將F(x)驗證以滿足羅爾定理條件，最后做出命題結論。例如，f(x)在（a,b）上可導，在[a,b]上連續，證明(a,b)內,2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少存在一個根。對此，可首先使F（x）[（fb）-f(a)]x2-(b2-a2)f(x)，其中F(x)在(a,b)上可導，在[a,b]上連續，F（a）=f(b)a2-b2f(a)=F(b)。至此，以羅爾定理為依據，將存在ζ使2ζ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ζ)，在(a,b)內，2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(x)至少有一個根存在。
2.證明不等式
不等式在中學數學中是重要的內容，微分中值定理在其證明上發揮很大的作用，具體可在不等式兩邊的代數式進行不同的選取設為F（x），通過微分中值定理，可得出一個等式，根據x取值范圍對等式進行討論，如對ln(1+x)≤x(x＞-1)進行求證，當x=0時，ln(1+x)=x=0；x≠0時，對于f(t)=lnt,將1與1+x設為端點，并應用拉格朗日中值定理，在區間內的ζ使f(1+x)-f(1)=f′(ζ)(1+x-1)，即ln(1+x)=xζ；當x＞0時，ζ>0，0<1ζ<1,因此ln(1+x)≤x；當x＜0時，0<ζ<1，1ζ>1、ln(1+x)與x為負值，所以ln(1+x)≤x，即對x＞-1恒成立。
3.用于求極限
中樞穴中對于極限的問題，很多時候在使用洛必達法則，為教師及學生帶來很大的計算量，但通過微分中值定理可為較難的極限問題提供有效且簡單的方法，主要是通過對某些部分進行輔助函數的構造，通過微分中值定理的使用，得出極限。
4.函數單調性的討論
對函數單調性的判斷，采用微分中值定理的主要方法是：當f(x)能夠滿足閉區間[a,b]連續，開區間（a,b）可導，那么(a,b)中f′(x)＞0，可推出f(x)在[a,b]上單調增加；若f′(x)＜0，單調減少。盡管連續函數中的某個點可能存在無導數的現象，但對函數單調性不會有影響。另外，在中學數學中可能涉及到利用函數單調性求極值，此時首先可對函數定義域進行確定，并將f′(x)求出，在對定義域內所有駐點進行求值，找出f(x)連續但f′x）不存在的點，最后對駐點及不可導點附近f′(x)的符號變化情況進行討論，確定函數極值點，以此求出極大值或極小值。
5.求近似值
1.引導性材料要具有現實性。例如，在“一元一次方程的應用”一節中，讓學生親自買一件商品，使學生體會商品的進價、售價、利潤、利潤率的現實意義。2.引導性材料要具有可變性。可變性就是材料可以變化出不同的形式，或者有不同的規律。例如，在學習“二元一次方程組的應用”時，“某同學到超市買了甲、乙兩種本共10個，問甲、乙各買本多少個？”在這個材料中，甲種本的數量可以是1到9的任意一個整數，具有可變性，引導學生如何再添加什么條件，就可以確定兩種本的數量，在這里體現了創新和開放，發揮了學生的主動性。3.引導性材料要具有科學性和教育性。科學性要求材料的嚴謹，教育性要求材料的人文含量要多。例如“一元一次不等式”中的“讀一讀———工資、薪金收入與納稅”，讓學生增加了社會知識，滲透了德育教育。4.引導性材料要適合學生的年齡、認知及心理特點。如果教師不顧學生的這些特點，一味按照數學學科的體系進行教學，學習的效果不會理想。例如，在學習“二元一次方程組的應用”時，如果利用飛機的飛行速度、順風飛行、逆風飛行，學生會感到枯燥乏味；如果利用騎車的速度、以及逆風行駛、順風行駛，并讓學生課前親自感受，就會加深學生對知識的理解，又培養了學生的學習興趣。
二、應用新型有趣的課堂教學方式
（一）創建輕松愉快的學習環境
教師在教學中的主導作用就是為每一個學生創設形形的舞臺，營造一種師生之間和諧、平等、民主交往的良好數學課堂氛圍，促使學生愉快地學習數學，激發學生對數學問題肯想、敢想的情感。對學生中具有獨特創新想法要特別呵護、啟發、引導，不輕易否定，切實保護學生“想”的積極性和自信心。例如，在教學“數軸”一課時，我利用直觀性教學原理，由三名學生到講臺來表演，（三人站在同一直線上），其中一人表示原點，另外兩人左右移動，表示有理數的加減。這樣的教學方式可以化抽象的數學概念為具體形象的表達，學生容易接受，而且給學生提供了參與教學活動的機會，激發了學習興趣。
（二）適時啟發點撥
在數學教學的過程中，教學的成效不但取決于教師對教材居高臨下的認識水平，深入淺出的講解水平，更取決于教師把教材、教案這些靜態知識轉化為動態信息傳遞給學生的啟導水平。教師要根據學生的年齡特點和認知發展水平，改變教學內容的呈現方式和學生的學習方式，把適合教師講解的內容盡可能變成適合學生探討研究問題的素材。要盡可能給學生多一點思考的時間，多一點活動的余地，多一點表現自己的機會，使學生成為數學學習的主人，這樣才能促使學生逐步從“學會”到“會學”，最后達到“好學”的境界。
三、創新教學中的小結
教學小結是教師和學生雙方在完成一個學習內容或活動時，對知識及其他方面進行歸納總結，使學生對所學的知識納入知識系統，形成數學文化的行為方式。開放性的小結，可以留下問題供學生去思考，鼓勵學生繼續探索，培養學生發散思維能力和數學的探究能力，形成良好的學習品質，實現知識的同化。
（一）學生談學習體會
1.從學習知識的角度，概括本節課的知識結構，強調概念，總結定理、公式及解題的關鍵。如我在講解《直線、射線、線段》一課時，鼓勵學生自己進行小結，結果學生積極踴躍地總結，準確概括出了本節課的三個概念、一個公理。2.從學習的數學思想方法角度，學生總結分析自己的思維過程和解決問題所體現的數學方法、數學思想。如在《數軸》一課中的數形結合思想，讓學生形象地理解了數軸的定義，以及數軸上的點與實數的關系是一一對應的。3.從學習的方法角度，學生總結學習過程中需要注意的問題、分析問題中的常見形式、幾何圖形中的常見輔助線等等。如在《三角形》的學習時，學生能總結出已知角平分線，應做出角平分線上的點到角兩邊的距離，以及“遇中線，加倍延”等等。4.從學習的感受和文化內涵角度，學習的感受就是處理問題的方法，解決問題的策略及在實際生活中的應用，體現的數學建模。如在學習《一次函數》時，學生能夠熟練地利用待定系數法列出方程組，從而求出函數解析式。
（二）教師教學小結的層次要求。
在構建的全等三角形中得出深一層的結論．但是當我們運用一題多變的教育方式進行一定的變形時，此時如若沒有上題作為前提的話，對于學生來說這道題還可以輕易解決嗎?如變形題1:如圖，如果把原題中“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結論是否還能成立，并證明你的猜想.學生通過上一問題的解決，明確要結合圖形，添加輔助線，利用全等三角形的性質證明線段相等是解決本題的關鍵．再一次讓學生進一步清晰輔助線的畫法、全等三角形的判定、性質和正方形證明題之間的聯系．在幾何題目中，首先要讀懂圖形，理解題意，深入挖掘題中隱含條件，掌握方法，雖然條件或結論的形式或圖形發生變化，而本質特征卻不變．經過兩道題目的解決發現，以上兩個題目的實質完全相同，對于題目1，學生易于由中點推斷線段的相等來助于解決問題，但學生對變形1則感到無從下手．
因此，對這些“質同形異”的題目，要善于指導學生拋開表面的限制因素，抓住此類題型的本質特征，相對于問題的解決就會起到決定性作用．我們進一步看變形2:圖3如圖所示，如果把原題中的“點E是BC邊的中點”改為“點E是BC邊的反向延長線上的任意一點”，其他條件不變，請你猜想AE=EF的結論是否還能成立，并證明你的猜想．這個變形略有難度，著重考查學生對此類變形后圖形添加輔助線解決數學問題常用方法的靈活運用，由前面問題的解決，學生會容易找到解決問題的關鍵是利用全等三角形的性質得出結論，本題設計意圖是轉變思路，增強學生的探究意識，同時要體會到數學知識不是孤立存在的，它們之間會互相轉化，有著某種必然聯系．隨著難度的不斷增大，卻能體現出多題歸一的思想，既能體現出知識之間的縱橫聯系，同時也能培養學生的思維拓展效果．盡管題目條件這樣的改變，原題中結論依舊是保持不變的．
通過對本題的解決和幾個變式的拓展，可以使學生根據不斷變化的情況，對原來的思維進程和解決題目的方法作出及時的調整，把大部分學生從過去解決問題的思維定式中及時地拯救出來，大大地提高了學生對知識掌握的程度．我們啟發學生對幾何問題的思考和歸納，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，獲得廣泛的數學經驗．變式研究之前，讓學生分析母題的構造及特點，滲透解題思想，即構造正方形中常用的輔助線，利用全等證明線段的相等的理念，從特殊到一般，運用數學轉化的思想，通過不斷的變化，建立新與舊、已知與未知的聯系，有助于學生關注問題或概念的不同方面，讓他們覺得有新的理念出現，讓他們學會從不同的角度看問題，因而加深對題意的理解，讓學生在充分的交流與合作中加深對問題的認識．學習數學不只是為了掌握一些基本知識、基本技能，更重要的是可以提高學生的發散思維能力、化歸遷移思維能力和思維靈活性，激活思維、學會思考、解決問題．
上例中的幾個問題，內容和形式各不相同，但實質卻是相同的，有著相同的解題規律，有著一樣的解題技巧，甚至完全相同的結果，圖形的變化形式多樣，通過這些變化使圖形化靜為動，動靜結合，使數學問題更具魅力，中考題中也經常出現源自課本題目的改編題，變化多端，卻萬宗歸一．這樣可以提高學生解決問題的興趣，本問題學生可以自主探究，或小組合作，通過畫圖、分析、論證得出恒成立的結論．在我們數學的課堂教學中，這種一題多變的典型題目比比皆是，形式也多種多樣，有的是改變條件，保留結論;有的是保留條件，改變結論;當然也有同時改變條件和結論，甚至可以將原題中的結論和條件互換后產生新的問題．可以通過重點剖析這些典型習題，讓學生分析結論，并加強鍛煉引導和推廣，從橫向和縱向兩個方向加深學生的知識體系，如若教師可以讓學生理清千變萬化的題海中互相牽連的關系，能使學生把相似的問題歸為一類，總結解題規律，做到熟一題，通一類，脫離“題海”，數學課必將成為大部分學生的樂趣．以此可見，在復習過程中，要有意識地引導學生注意課本例題、習題以及常見考題之間的內在關系，尋找同一類的類型題，適當進行改變題設、結論，加強鍛煉學生對類型題的歸一練習，以不變應萬變，必定可以改善現今各個學校存在的數學學困生的一些問題，也能使得原本擅長數學的學生更加充滿自信地學習．以上所談，僅為教學之略見．事實上，在數學教學中，使學生掌握數學思想、數學學習方法、數學解題策略比學習數學知識更為重要，它有利于培養學生的創造性思維能力和思維的靈活性、深刻性，使學生從“學會”到“會學”以至于“會用”到“創造發明”，這也是數學教學的目的之一．
作者：岳芳芳 單位：廣西南寧市第十中學
問題情境的創設恰是教育教學過程中激發學生欲望的“藝術”．問題情境是將學生置于新奇的、未知的氣氛中，使學生在發現問題、思考問題、解決問題的動態過程中主動參與學習的一種情境．如前蘇聯著名教育實踐家和教育理論家蘇霍姆林斯基所言“在人的內心深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而在學生的精神世界中這種需要特別強烈”，通過創設問題情境，激發學生扮演發現者、研究者、探索者的欲望，使學生享受在無盡的知識海洋中探索的感受，并形成自主探索意識，樹立學習的積極性和主動性．
通過問題情境，讓學生在好奇心、求知欲的“唆使”下，自主自發陷入思考、探究過程中，正如羅斯福所言“當人們自由地追求真理時，真理就會被發現”，學生自由地徜徉在探索道路上，感受用待定系數法求函數解析式的奧秘和樂趣，并在數學研究的歷程中感受數學的魅力．顯然，這比教師“干巴巴”地、“口干舌燥”地講授數學理論有趣生動得多．例如，在等差數列求和公式講解時，為了引起學生的思考，教師先讓學生分別快速計算1至10、1至20、1至30、1至40、1至60、1至80、1至100的求和，讓學生找出最簡潔、快速的計算方式，這樣學生就會帶著問題進行思考，同時教師在這個過程中也迅速對學生計算的結果給予判斷正確與否，這樣就會讓學生在思考問題的過程中，逐漸被教師快速判斷的“引子”所吸引，進而激發學生學習等差數列求和的積極性．
二、創設數學活動情境是認識的基礎
有這樣一個比喻:將10g鹽放在你面前，無論如何你都難以下咽;而將10g鹽置入美食中，你在一飽口福地同時愉快地享用了它．教學情境之于知識也是如此，鹽融入食物中才能被吸收;知識融入情境中，才能被接納．世界知名數學家華羅庚說:“人們對數學造就產生了枯燥乏味，神秘難懂的現象，成因之一是脫離實際．”在數學教學中，要聯系學生的生活實際創設教學情境，將難懂的理論知識融入日常生活活動中，引導學生觀察、操作、猜測、探索、交流等，使學生在情境展開中自然而然地領悟原本看似高深晦澀的知識，激發學生學習興趣．
通俗點理解，教學情境的意義是使學生在學習和理解抽象的數學理論時“有據可依”．不管是拋擲硬幣、骰子或是其他教學情境，都成為學生在理解古典概型理論時的依據，因為有了這些依據，使理論的引出自然而然，同時，這些依據的存在又加深學生對理論的理解．可以想象，學生在學習基本事件這一概念時，如果僅是死記硬背“在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件”，學生即便不是一頭霧水也會覺得枯燥乏味，如果將這一概念融入到拋擲骰子的情境中，這一概念就變得生動形象得多．例如，在講解指數函數的性質時，單純的說指數函數的特點，比較抽象，學生感知起來比較困難，這時，教師可以創造畫圖教學手段，讓學生進行根據函數模擬作圖，這樣學生通過函數圖象就能對函數性質有一定了解，并在教師引導下最終掌握函數整體性質．
三、運用小組合作教學模式，培養適應時代需求的人才
合作與創新已然成為21世紀全球教育的主旋律，各國教育部均面臨著加強學生合作與創新精神培養的重要任務．新課程標準倡導學生開展自主學習，并通過學生的各種有效學習合作，引導學生互相啟發、共同探究．基于此，小組合作教學模式“名正言順”地成為新課程教學中應用最多的教學組織形式．“學源于思，思起于疑”，具有探究價值的內容是開展小組
教學模式的前提，否則，一群人針對一個沒有價值或不感興趣的內容進行探究，不管場面如何熱絡，怕也只會覺得索然無味，更達不到培養學生合作精神、創新精神的目的．因此，合作學習中學習內容的確立要考慮學生的需求和興趣，是具有思考探究價值的、貼近學生學習實際的內容．
小組合作教學是培養學生思維能力、合作能力和創新能力的教學組織形式，是符合時代進步和社會需求的教學方式．教師在教學過程中應確立學生學習主體地位，發揮教師“引導者”的作用，使小組合作教學真正發揮作用．
四、愛與期望點燃學習動力
有這樣一個例子:紐約州的大沙頭是一個黑人聚居的貧民窟，貧窮、寒酸而聲名狼藉．就像被下了“蠱”，這兒出生的孩子長大后也鮮有人能獲得體面的工作，一茬茬兒的年輕生命絲毫挽救不了這兒的寒酸和名譽．皮爾·保羅此時擔任諾必塔小學的董事兼校長，他很快就發現這兒的學生懶惰、消極、無所事事，甚至拉幫結伙、打架斗毆．當羅杰·羅爾斯從窗臺上跳下走向講臺時，皮爾·保羅說:“我一看修長的小手指就知道，將來你就是紐約州的州長．”羅杰·羅爾斯十分驚訝，但他記住了這句話．接下來奇跡發生了，羅杰·羅爾斯不再邋遢曠課，說話也不再污言穢語，學習成績不斷提升，后來成了班長……51歲那年，他真的成了紐約州州長．在就職記者招待會上，他提及了一位“點燃”他人生信念的校長．教師在教育教學過程中，對學生傾注關愛與熱情，重表揚、多鼓勵，往往會發生“羅森塔爾效應”．教師以積極的態度期望學生，學生就可能向著教師期望的積極方向改進;相反，教師對學生存在偏見，學生往往也不會辜負教師的“偏見”．
教師對學生傾注的愛、關懷和期望就如同一針“強心劑”，讓“沉睡”中的學生重拾活力，對他們的學習有重要的激勵作用，特別是當學生缺乏明確的學習動機時，教師的愛與期望就會成為其學習的強大的動機．當然，教學過程中，在追求“羅森塔爾效應”的同時也應防止“馬太效應”．教師應對學生一視同仁，在給優生“錦上添花”時，也應記得為中間生或學困差生“雪中送炭”，教師的愛可能會成就一個人，同樣，教師的偏見也能毀掉一個人．
中學時代是一個人智力發展的重要時期，而數學教育除了基本的計算和應用以外，還有一個內容就是可以培養一個人的邏輯思維能力。現在國家在提倡素質教育，很重要的一個原因就是以前的數學教育只是教會了定理定律，卻沒有教會學生怎么應用這些定理定律，久而久之就會造成一些所謂的高分低能的學生。隨著當今科學技術的快速發展和社會的深刻變革發展，人們的評判標準也發生了重大變化。人們逐漸意識到一個人能力的重要性遠遠大于其知識多少和考試分數高低，即一個人能夠分析問題、解決問題的能力和創新能力不但對于個人來說是一個優勢所在，而且對于一個國家的發展進步來說都是一筆寶貴的財富。數學的學習有利于學生的邏輯思維，發散思維和創造思維能力，給學生提供學習材料，讓學生先自己探索，思考，然后再引導學生得出正確的結論。發現學習的教學觀，不僅使學生主體性得到發揮，而且能獲得數學的基本知識和技能，養成良好的思維習慣和較高的創造能力。
二、培養學生承受困難的能力
當今社會競爭越來越激烈，決定一個人能否出于成功往往不在于他們平時能考多少分，而是他們面對困難和挫折的能力。數學的抽象化使得它不像學習別的課程那么直接，數學學習的過程是一個枯燥的過程。但是就是這個數學學習的過程，可以培養學生的刻苦鉆研的精神。同時也是對學生毅力和耐力的一種磨練，在學習和生活中，一個人不可能一帆風順，不可能碰不到一點挫折，這樣就需要學生有一定的心理承受能力和面對困難時不退縮、不回避的態度。
三、中學數學教育的現狀
數學在國民經濟中起著越來越重要的作用。不僅包括自然科學，也包括社會科學所涉及的各個領域，甚至還涉及技術、經濟建設乃至社會的許多領域。特別是當今時代，科學技術迅猛發展，科學數學化的趨勢越來越明顯，現代科學正朝著廣泛應用數學的方向發展。目前中學數學教育的現狀仍然使人堪憂，數學競賽、奧數等一些競賽性質的數學參與方式的出現，使得數學教育的功利性和急于求成性暴漏在人們眼前。這樣會使學生形成學習數學就是為了能拿到高分和參加競賽獲得好名次的假象。這樣的教育方式和教育結果，只體現了數學教育內容的基本內容，而忽視了后面兩個同時也是很重要的內容。
四、教師在中學教育中的角色
一、利用學案，幫助學生感悟中學數學
在“三案六環節”的教學中，學案并不是簡單地寫幾個小問題，對中學數學學科就是寫幾個題目讓學生做一做就完了。教師需要仔細的設計學案，通過學案讓學生更好的感悟中學數學，從而提高中學數學教學的效率。教師可以通過更加生活化、情趣化的學案來激活學生學習中學數學的興趣與內在驅動力。
例如在教學《多姿多彩的圖形》時可以在導學案中加入如下內容：
在現實生活中，我們會遇到各種各樣的圖形，而各種圖形的不同組合使得這個世界變得更加豐富多彩？你能夠說出你遇到過那些圖形呢？下面我們就來走進《多姿多彩的圖形》。
1、你所學過或者熟悉的幾何圖形有那些？
2、在生活中你都接觸過那些幾何圖形？
3、自學課本116-118的內容，思考你所遇到的實物中都能夠對應哪些幾何圖形？并嘗試完成課后120-121的練習。
通過這樣的學案設計，將課本內容與生活進行聯系，可以讓學生體會到在生活中處處都有中學數學，逐漸認識到中學數學對于生活的重要性。同時還能激發學生學習中學數學的興趣，讓他們能夠從生活的角度去思考中學數學問題，使他們的學習能力得到提高。通過合理的導學案，不僅能夠提高學生自主學習的能力，還能夠有效的提高課堂效率。
二、“三案六環節”體現出了“先學后教”
傳統的教學模式都是先教后學，學生在聽取了教師的講解之后才進行學習和練習。這種傳統的模式直接剝奪了學生的自主學習的機會，而且這樣還會削弱教師講解的效果。“三案六環節”教學模式吸收并借鑒了很多新的教學理念，它強調在課前將教學內容分解成為各種問題，讓學生根據問題對即將學習的新內容進行有層次、分階段的探究學習，在這個過程中，學生往往不但能主動學習，解決問題，還能根據自學的情況主動地提出疑問，增強學習的效果。
“三案”的編制需要體現出以學生為中心，讓學生主動參與，自主學習，將被動學習轉變為主動學習，實現了“先學后教”，這樣使得教學更加的具有針對性。例如在《圖形的旋轉》的導學案中分解出如下的幾個中學數學問題：（1）旋轉的有關概念；（2）旋轉的性質；（3）圖形的旋轉。在導學案中可以先將這幾個問題與生活相聯系，讓學生從生活的角度思考問題，讓學生從課本中獲取相關的知識，然后學生們提出幾個問題進行探究：（1）利用圖形的旋轉求角的度數、線段的長度；（2）探索生活中的旋轉。教師通過這兩個環節來引導學生進行自學。讓學生先學，能夠讓學生更加牢固地掌握知識。學生對于自己發現的問題也有著更高的積極性去尋求幫助進而解決，課堂的教學效率也隨之提高。
三、利用“三案六環節”，將課堂還給學生
